Aufgabe Nr. 78 von Eigenmann

Question

Aufgabe:

Aufgabe Nr.78 von Eigenmann

Ohne Taschenrechner; die Figuren sind nicht maßgetreu.

Paul Eigenmann, Aufgabe 1.2.78, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S. 13.

Problem/Ansatz:

Lösung ohne Taschenrechner gesucht

Comments

Eigenmann hat auch Lösungen mitgeliefert. Zu dieser Aufgabe schrieb er:

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\(\displaystyle 15 \, \text{cm} \)

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(eingangs zitiertes Werk, S. 57)

Answer 1

Die 20 cm ergeben sich mit Pythagoras. Die Länge der orangefarbigen Strecke ergibt sich wenn man weiß, wie eine Winkelhalbierende die gegenüberliegende Dreiecksseite teilt.

Ähnlichkeit (oder Strahlensatz):

(60/7) : 20 = x : (x+20)

3 : 7 = x : (x+20)

x= 15 (cm)

Answer 2

Lass dich von deiner ehemaligen fast gleichen Aufgabe Eigenmann #168 inspirieren.

https://www.mathelounge.de/1108521

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20^2 + (x + (x + 20 - 29))^2 = 29^2 → x = 15 cm

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Comments

Man könnte auch über die Formel des Ankreisradius gehen. Aber ich brauche nicht zu sagen, dass die Formel bei Schülern auch etwas unbekannt sein dürfte.

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Abakus

Danke.
Mit dem Halbwinkel α habe ich gearbeitet. Weil ich den Halbwinkelsatz aber nicht kanntre, musste ich den Ganzwinkel 2•α mit sin(2α)= 21/29 ausrechnen.

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Dass eine Winkelhalbierende eine Dreiecksseite im Verhältnis der anliegenden Seiten teilt lässt sich wie folgt begründen:

Für das Verhältnis der Teilflächen A1 und A2  gilt einerseits

A1:A2 = c1:c2 (beide Teildreiecke haben die gemeinsame Höhe h),

andererseits gilt

A1:A2 = b:a (Wenn man b und a als Grundseiten des jeweiligen Teildreiecks nimmt, sind W_γF und W_γG gleich lange Höhen der Teildreiecke.)

Somit gilt c1:c2=b:a.