Nullstellen der Integralfunktion abhängig von u

Question

Aufgabe:

Gegeben ist der Graph einer ganzrationalen Funktion f vom Grad vier. Es ist J_u die Integralfunktion von f zur unteren Grenze u. Ermitteln Sie, für welche u die Funktion J_u in (u; ∞) keine, genau eine oder mehrere Nullstellen hat.

Problem/Ansatz:

Also ich habe mir überlegt, dass für u ≥ 4 J_u keine Nullstellen im Intervall hat und für -2 ≤ u < 4 eine Nullstelle.

Für u < -2 wechselt es bei einem bestimmten Wert a, der kleiner als -2 ist, von ‚keiner Nullstelle‘ wenn u ≤ a,  zu ‚zwei Nullstellen‘ wenn a < u < -2.

Aber wie ermittle ich diesen genauen Wert a?

Answer 1

Frag nach der Stelle a für die gilt:

∫ (a bis 4) f(x) dx = 0

Mein Rechner kommt dabei auf a = - 1 - 10^(1/3) ≈ -3.154

Ich nehme mal an das ist eine Aufgabe für das CAS oder?

Comments

Der Aufgabentext war vollständig angegeben, f(x) ist nicht angegeben, von CAS steht da nichts. Bis auf den Fall mit a kann man auch alles ohne Erraten von f(x) lösen.

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f(x) = 0.1·(x + 2)·(x - 1)^2·(x - 4)

kann man aus der Abbildung ermitteln. Wenn man es einfacher haben möchte, kann man die Funktion zunächst um eine Einheit nach links verschieben. Man müsste nur daran denken, dass sich dann auch die Grenze a verschiebt.

Ich sehe keinen Weg, durch Raten auf a zu kommen.

Answer 2

In Fortführung von dem was Mathecoach geschrieben hat, ist die Gleichung

$$ \int_u^4 f(x) dx = 0 $$ zu lösen mit $$ f(x) = \frac{1}{10} (x+2)(x-1)^2 (x-4)  $$

Berechnen der Stammfunktion ergibt

$$ -\frac{1}{50} (u-4)^2 (u^3+3u^2+3u+11) $$

Die zweite Klammer kann man schreiben als

$$ u^3+3u^2+3u+11 = (u+1)^3 + 10 $$

Daraus ergibt sich als Nullstelle der Wert $$ u = -1-\sqrt[3]{10} $$

Comments

Danke. Ich verstehe das alles und die Funktion habe ich selber auch so erraten - damit habe ich ja überhaupt erst die GeoGebra Skizze gemacht, da man kopierte Schulbuchseiten hier nicht einstellen darf. Die Skizze im Buch ist kleiner und gröber, es war also wirklich ein erraten.

Und da man die ersten Bereiche rein durch Überlegen beantworten kann, nahm ich an, dass dies auch für den letzten Bereich möglich sein müßte und nicht, dass man erst eine Funktion erraten soll, dann mit dem Rechner oder anders die Nullstellen einer Stammfunktion berechnen soll - alles nur um eine einzige Teilfrage zu beantworten. Aber gut, einen einfacheren Weg gibt es nicht, das war was ich wissen wollte. Komische Aufgabe finde ich, aber egal. Danke nochmal.

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Ja. Ist schon merkwürdig. Aus welchem Schulbuch (mit ISBN) stammt denn die Aufgabe?

Von heutigen Schülern wird eigentlich nicht erwartet, dass sie die Gleichung

x^3 + 3·x^2 + 3·x + 11 = 0

ohne CAS exakt lösen können.

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Lambacher Schweizer Mathematik Kursstufe - Leistungsfach, 978-3-12-735380-8

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Ah, danke. Beachte, dass die Aufgabe dort als schwierig eingestuft ist. Das kann manchmal ein Hinweis sein, dass die Lösung nicht unbedingt so leicht abzulesen ist.

Ich weiß auch nicht, inwieweit das bei Euch üblich ist, dass Ihr Gleichungen der Form

x^3 + 3·x^2 + 3·x + 11 = 0

ohne ein CAS exakt lösen müsst. In Hamburg fehlen den Schülern dazu die benötigten Mittel wie z.B. das trickreiche Anwenden des binomischen Satzes.

Auf jeden Fall ist die Grenze eben nicht exakt aus der Skizze abzulesen. In Hamburg würde ich mich aber auch damit begnügen, wenn Schüler ein Näherungsverfahren anwenden oder gar das numerische Gleichungslösen des Taschenrechners benutzen, auch wenn das Ergebnis dann nur eine näherungsweise Dezimalzahl sein kann.

Kannst ja mal ein Feedback geben, wenn ihr die Aufgabe im Unterricht besprochen habt. Also ich würde vermuten, dass mit der Aufgabe eine Großzahl Schüler Schwierigkeiten hatte.

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978-3-12-735380-8

dort S. 109.