Genau ein negativer Eigenwert

Question

Aufgabe:

3. Zeigen Sie, dass \( A=\left[\begin{array}{ccc}105 & 20 & 10 \\ 20 & 95 & 10 \\ 10 & 10 & 1\end{array}\right] \) genau einen negativen Eigenwert hat, indem Sie

- die Gershgorin-Kreise von \( A \) und

- das Produkt \( \left[\begin{array}{lll}0 & -1 & 10\end{array}\right] A\left[\begin{array}{c}0 \\ -1 \\ 10\end{array}\right] \) (auf das Vorzeichen schauen!)

verwenden. Begründen Sie ausführlich!

Problem/Ansatz:

Also ich habe die Kreise [75, 135] ,[65, 125], [-19,21] und bei der quadratischen Form kommt -5 raus. Also ja für diesen Vektor [0, -1, 10] haben wir eine negativ definite Matrix, was ja bedeutet, dass ein Eigenwert negativ ist. Aber ich denke, dass diese Argumentation sehr schwammig ist. Wie kann man das besser begründen?

Comments

Vielleicht kann man wie folgt argumentieren:
Du weißt, dass es mindestens einen negativen EW gibt.
Die Summe aller EW ist die Spur der Matrix. Da diese offenbar positiv ist, können nicht alle EW negativ sein.
Das Produkt aller EW ist die Determinante der Matrix. Da diese negativ ist, können es auch nicht genau zwei negative EW sein.
Also gibt es genau einen negativen EW.

---

Da man weiss, das es mindesens einen negativen Eigenwert gibt, kann man auch über das Zweites Gerschgorin Theorem argumentieren.