Eigenmann Aufgabe #157/Teil1

Question

Aufgabe:

Eigenmann-Aufgabe 157/1

Ohne Taschenrechner; die Figuren sind nicht maßgetreu.

Paul Eigenmann, Aufgabe 1.4.157, ISBN 3-12-722310-2, 1981, S. 23.

Problem/Ansatz:

wie anfangen?

Answer 1

linkes Dreieck: α+(0,75α-45°)+(90°-0,5α)=180°.

1,25α=135°

α=108°

Das ist allerdings nicht die Antwort auf "wie anfangen",

Es zeigt nur, wie das Ganze endet.

Die eingezeichneten Winkel habe ich in der Reihenfolge schwarz-blau-grün gewonnen.

Comments

abakus,

Deiner Arbeit rechts und zum Schluss kann ich folgen. Aber: woher weißt Du, dass der grüne Winkel an der eingezeicneten Stelle links wieder erscheint?

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Die grünen Winkel sind Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen.

Nach solchen Situationen suche ich immer, wenn es um Winkel in Kreisen geht.

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Ich weiß nicht, wie abakus es gemacht hat. Vermutlich geschickter als ich. Ich bin über alle gleichschenkligen Dreiecke gegangen, was auch zum Ziel führte, allerdings vermutlich etwas langsamer.

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Könnte es vielleicht damit zu tun haben?

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Ja, die Dreiecke sind ähnlich. Das ergibt sich aus dem Scheitelwinkelpaar und eben aus dem Peripheriewinkelsatz.

Letztendlich braucht man für die konkrete Aufgabe nur die übereinstimmenden Peripheriewinkel und nicht die Ähnlichkeit.

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Das ergibt sich auch aus dem Sehnensatz. Musste ich allerdings auch erstmal googeln, da ich Winkelsätze im Kreis nie gemacht hatte.

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Das ergibt sich auch aus dem Sehnensatz

welcher aus der Ähnlichkeit der Dreiecke folgt,

die wiederum aus dem Peripheriewinkelsatz folgt.

Es sei denn, du kennst eine Herleitung des Sehnensatzes, die ohne Peripheriewinkel (und ohne Sehnenviereck) auskommt.

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Viele Wege führen nach Rom :

β=α
γ1=γ2 = (180-β)/2
δ = β+γ2
ε = δ/2
ζ = ε+γ2

ζ=α ⇒ α=108°

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Richtig. Der Unterschied ist hier, dass nicht zwei gleiche Peripheriewinkel, sondern nur ein Peripheriewinkel und sein zugehöriger Zentriwinkel verwendet werden.

Was mir am meisten gefällt: Der schöne einfache Außenwinkelsatz wird gleich zweimal verwendet.

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Hier noch das Bild so bearbeitet, dass daraus die Eigenschaft der beiden grünen Winkel von abakus als Peripheriewinkel über demselben Bogen zu erkennen ist.