Kleinste Periode einer Winkelfunktion bestimmen?

Question

Aufgabe:

Kleinste Periode einer Winkelfunktion bestimmen?

Problem/Ansatz:

Ich habe folgende Funktion f gegeben: ℝ→ℝ mit f(x)=1/3 * sin (3*π/4 *x)

Ich soll die Länge der kleinsten Periode p bestimmen.

Comments

Welche Perioden hast Du denn gefunden? Was hast Du probiert? Überleg Dir, welche Periode \(x\mapsto\sin x\) hat und wie sich das bei \(x\mapsto \sin (a\cdot x)\) ändert.

---

Du siehst hier den Graphen der angegebenen Funktion (blau), verglichen mit einem normalen Sinus (orange):

---

Hier der wichtige Fakt, der dir weiterhilft:

Ist \(f\) eine reelle Funktion und periodisch mit Periode \(p\), dann ist die reelle Funktion \(g\), gegeben durch \(g(x)=c\cdot f(ax+b)\) mit Konstanten \(a,b\) und \(c\), periodisch mit Periode \(\frac{p}{a}\).

Ohne dir das jetzt im Detail zu beweisen, wieso gilt das? Das \(c\) ist eine vertikale Streckung der Funktion, das macht an der Periode nichts. Das \(b\) verschiebt den Funktionsgraph um \(\frac{b}{a}\) nach links bzw. rechts, das macht an der Periode auch nichts. Das \(a\) jedoch sorgt dafür, dass das Argument innerhalb von \(f\) um einen Faktor \(a\) schneller eine Periode durchläuft. Dadurch wird die Periode mit Größe \(p\) also um einen Faktor \(\frac{1}{a}\) kürzer, und das ist unser Ergebnis.

Mit dem Wissen bewaffnet, dass die Sinusfunktion eine Periode von \(2\pi\) besitzt, solltest du es jetzt schaffen, oder?

Hier eine Visualisierung zum selber rumspielen. Ich habe die Periode für dich markiert, damit du experimentell sehen kannst, dass nur \(a\) die Länge der Periode verlängern kann:

---

Was soll denn "kleinste" Periode bedeuten?

mMn gibt es nur eine Periode, oder wie ist das gemeint?

---

Die Def. ist vermutlich nicht einheitlich. Legt man die (verbreitete) Def. von wikipedia zugrunde, müsste man in der Aufgabe von der kleinsten positiven (\(>0)\) Periode sprechen. Der Begriff "Länge" einer Periode (siehe Frage) ergibt jedenfalls keinen Sinn, denn eine Periode ist eine Zahl.

Answer 1

Überlege dir, was die Parameter \(a\) und \(b\) in der allgemeinen Form \(f(x)=a\sin(bx)\) mit dem Graphen machen (Transformation) und wie sich das auf die Periode auswirkt. Die Periode von \(\sin(x)\) ist ja bekanntlich \(2\pi\). Die Periode lässt sich dann relativ leicht mit Hilfe von \(b\) berechnen.

Answer 2

Die allgemeine Sinusfunktion lautet in vielen Büchern

f(x) = a·sin(b·(x ± c)) + d

Dabei ist

|a| = 1/3 die Amplitude

und

b = 2·pi / p Stauchfaktor in x-Richtung wobei p die Periodenlänge ist.

Damit gilt auch

p = 2·pi / b

oder bei dir

p = 2·pi / (3/4·pi) = 8/3 = 2 2/3

Damit wäre die kleinste Periodenlänge 8/3 = 2 2/3