3D-Vektorenberechnung mit Skalar- und Kreuzprodukt

Question

Gegeben seien 2 Vektoren (Vorsicht! Jetzt \( 3 \mathrm{D} \) - die dritte \( -\mathrm{z} \) -Komponente ist nicht mehr gleich Null): \( \overrightarrow{A_{1}}=[2,3,7] \) und \( \overrightarrow{A_{2}}=[-1, ~ 5, ~-3] \).

a) Berechne die Längen dieser Vektoren.

b) Berechne das Skalarprodukt aus beiden Vektoren.

c) Berechne den Winkel zwischen den Vektoren.

d) Berechne das Kreuzprodukt beider Vektoren


Meine Vorschläge:

a)
A₁=√62
A₂=√35

b)
Skalarprodukt:
A_1*A₂={-2|15|-21}

c) und d) muss ich erstmal überprüfen

Comments

a) stimmt

b) Skalarprodukt = 2*(-1) + 3*5 + 7*(-3) = -2 + 15 - 21 = -8 (ist und bleibt eine Zahl .-))
c) Formel für Skalarprodukt anwenden und nach dem Winkel auflösen

d) Dafür gibt es eine Rechenvorschrift.

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c) werde ich gleich berechnen, ich habe aber schon d)

zu d)

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Die Rechnung ist falsch, aber meinst du die Formel von der anderen Aufgabe?

|(A₁)| = √((2²+3²+7²)² =√(62)

|(A₂)| = √((-1)²+5²+(-3)²) =√(35)

(A₁,A₂) = √97

cos(A₁,A₂) = (√97)/4 =? -> Winkel = ?°

Hier ich habe die Formel gefunden.

\( \begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &=a \cdot b \cdot \cos \alpha \\ &=a_{1} \cdot b_{1}+a_{2} \cdot b_{2}+a_{3} \cdot b_{3} \end{aligned} \)
Dabei ist \( \alpha \) der Winkel zwischen den beiden Vektoren \( -\vec{a} \) und \( \vec{b} \).
Ein Beispiel dafür ist:
\( \vec{a}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 5\end{array}\right), \vec{b}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right), \vec{a} * \vec{b}=(1 * 2+3 * 0+5 * 4)=22 \)

zu c)
Ich habe -8 rausbekommen (Skalarprodukt a*b), aber wie erhalte ich den Winkel?

cos(-8)=0,990268

Answer 1

a) 

√(2^2 + 3^2 + 7^2) = √62

√(1^2 + 5^2 + 3^2) = √35

b)

2·(-1) + 3·5 + 7·(-3) = -8

c)

ARCCOS(- 8/(√62·√35)) = 99.89 Grad

d)

[-44, -1, 13]