Minimum an Verbrauch von Sprit berechnen

Question

Der Kraftstoffverbrauch eines PKW ( in Liter je 100km) lässt sich in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit x (in km/h) im 4.Gang näherungsweise durch die Funktion f(x)=0,0017x^2-0,18x+10,2 beschreiben (x größer gleich 30)

Bei welcher Geschwindigkeit  ist der Verbrauch am geringsten?

Wir groß ist der geringste Verbrauch?

Ich weiß nur, dass ich da mit Hilfe von Nebenbedingung und Zielfunktion vorgehen soll aber wie?

Answer 1

Ich glaube da brauchst du keine Nebenbedingung und die Zielfunktion ist auch direkt gegeben.

Der Kraftstoffverbrauch eines PKW (in Liter je 100 km) lässt sich in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit x (in km/h) im 4. Gang näherungsweise durch die folgende Funktion beschreiben.

f(x) = 0.0017·x^2 - 0.18·x + 10.2 ; x ≥ 30

Bei welcher Geschwindigkeit  ist der Verbrauch am geringsten ?

f'(x) = 0.0034·x - 0.18 = 0
x = 52.94 km/h

Wir groß ist der geringste Verbrauch?

f(52.94) = 5.435 l/(100 km)

Answer 2

Nebenbedingung, Zielfunktion?

Solche Aufgaben erledigt man mit Hilfe der ersten Ableitung:

Der Verbrauch ist bei derjenigen Geshcwindigkeit x₀ am geringsten, bei der die Funktion f ( x ) ein Minimum hat.

Wenn f ( x ) an der Stelle x₀ ein Minimum hat, dann muss gelten: 

f ' ( x₀ ) = 0 

also:

f ' ( x₀ ) = 0,0034 x₀ - 0,18 = 0

<=> 0,0034 x₀ = 0,18

<=> x₀ = 0,18 / 0,0034 ≈ 52,94

Da f ' ' ( x₀ ) > 0 ist, liegt an dieser Stelle tatsächlich ein Minimum von f ( x ) vor.

 

Der Wert des geringsten Verbrauchs v_min ist gleich dem Funktionswert von f ( x ) an der Stelle x₀ , also:

v_min = f ( x₀ ) = f ( 52,94 )

= 0,0017 * 52,94 ² - 0,18 * 52,94 + 10,2

≈ 5,44 Liter / 100 km