Supremum einer Funktion ist Maximum oder Grenzwert?

Question

also sei $$f: (0,\infty) \rightarrow \mathbb{ R }$$ stetig. Es ist $$M := sup_{x > 0} |f(x)| < \infty$$.

Jetzt gibt es für mich zwei Möglichkeiten, wie man M anders schreiben kann:

1.: |f(x)| konvergiert gegen das Supremum, also $$M = \lim_{x \rightarrow \infty} |f(x)|$$

2.: Das Supremum wird tatsächlich angenommen und ist das globale Maximum von |f(x)|, also $$M = max( |f(x)| )$$

Ist das richtig? Oder gibt es noch andere Möglichkeiten?

Danke,

Thilo

Comments

Kann nicht auch 1. und 2. gleichzeitig vorkommen?
Und
Der Fall mit 2 und mehr gleich hohen M ist wohl bei 2 erledigt  Oder?

Bsp. f(x):= cos x, x> 0.

Was sagst du zu:

g(x) : = 2 - 1/(x+1) , x Element N
g(x) : = 0                  , x Element R \ N?

sup wäre hier 2. ist aber nur ein Häufungspunkt. Klar! Stetigkeit ist verletzt!