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Gegeben sind die Ebene E mit:

\( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+r-\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+s-\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \), \( r, ~s \in \mathbb{R} \)

sowie \( A(3|0|0) \) und \( B(-1|0|0) \).

Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und B.

Zeigen Sie, dass A nicht in E liegt.

Zeigen Sie, dass der Mittelpunkt der Strecke \( \overline{A B} \) in \( E \) liegt.

Untersuchen Sie, ob der Richtungsvektor der Geraden \( \mathrm{g} \) auf den Spannvektoren der Ebene E senkrecht steht.

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E: X = [1, 0, 0] + r * [0, 1, 0] + s * [0, 1, 1]

Ebene und Punkt gleichsetzen

[1, 0, 0] + r * [0, 1, 0] + s * [0, 1, 1] = [3, 0, 0]

Nach der ersten Gleichung müsste gelten

1 + 0r + 0s = 3

Das geht ja nun nicht. Darum liegt A nicht in der Ebene

MAB = ([3, 0, 0] + [-1, 0, 0]) / 2 = [1, 0, 0]

Das ist ja gleichzeitig der Stützvektor der Ebene. Also liegt MAB in der Ebene.

Zur Frage 3:

Es sollte klar sein das der Richtungsvektor der Geraden [1, 0, 0] ist.

[1, 0, 0] * [0, 1, 0] = 0

[1, 0, 0] * [0, 1, 1] = 0

Damit ist der Richtungsvektor senkrecht zu den Spannvektoren.

Avatar von 487 k 🚀
Wie kommst du auf den Richtungsvektor (1,0,0) bei der Geraden g, bekannt ist doch nur dass g durch die Punkte A und B geht für mich wäre AB somit der Richtigsvektor ( ergibt bei mir (-4,0,0) ) ???

Wenn (-4,0,0) ein Richtungsvektor ist, dann auch alle seine (nicht verschwindenden) Vielfachen...

wie kann ich jetzt begründen, dass der Richtungsvektor senkrecht auf der Spannvektoren steht?

Ich habe das man dam Skalarprodukt gemacht.

https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt
Aber wie kommst du denn auf deinen Richtungsvektor, bei meinem (-4,0,0) geht das mit dem Skalarprodukt nicht auf ???

Wenn (-4,0,0) ein Richtungsvektor ist, dann auch alle seine (nicht verschwindenden) Vielfachen... Kommentiert vor 31 Minuten von Gast jd13

Ist es denn hier ein Richtungsvektor ?
Ja B - A ist ein Richtungsvektor von A nach B.

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