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Aufgabe:

Untersuchung ganzrationaler Funktionen:

Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung:

$$ f(x)=\frac{1}{6} \cdot x^{3}-x^{2}+4 $$

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion \( f \).

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a) (1) Ermittein Sie rechnerisch die Koordinaten des lokalen Hochpunktes und die Koordinaten des lokalen Tiefpunktes des Graphen der Funktion \( f \).

(2) Berechnen Sie die Steigung der Geraden durch die beiden in a) (1) ermittelten lokalen Extrempumkte.

b) Die Abbildung 2 zeigt, wie durch den Graphen der Funktion \( f \) der in Abbildung 1 dargestellte Bereich des Koordinatensystems in zwei Teile A und B geteilt wird. Entscheiden Sie begründet, ob der Punkt \( P(2 \mid 1,3) \) zu A oder zu B gehört.

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f(x) = 1/6·x^3 - x^2 + 4

f'(x) = x^2/2 - 2·x

 

a1) Extrempunkte f'(x) = 0

x^2/2 - 2·x = 0
x = 4 ∨ x = 0

f(0) = 4 --> Hochpunkt
f(4) = - 4/3 --> Tiefpunkt

 

a2) m = Δy / Δx = (-4/3 - 4) / (4 - 0) = - 4/3

 

b) f(2) = 4/3 = 1.333

Damit gehört der Punkt zu B.

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