Stetigkeit für Funktionen zeigen

Question

:)...

Ich soll folgende Aufgabe bearbeiten , hab leider jedoch wirklich keine Lösungsansätze ...:

1. Zeigen oder widerlegen Sie für Funktionen f; g : R ⇒ R und a ∈ R die Aussagen:
a) f ist stetig in a ⇒ Ι f Ι ist stetig in a
b) jfj ist stetig in a ⇒ f ist stetig in a
c) f *g ist stetig in a ⇒ f und g sind stetig in a
2. Untersuchen Sie, an welchen Stellen die Funktion f : R ⇒ R mit
f(x) =     x falls x ∈Q
        1 - x falls x ∈ R / Q

stetig bzw. unstetig ist.
(Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass für jede beliebige reelle Zahl x konvergente
Folgen mit Grenzwert x existieren, die vollständig rational oder vollständig irrational sind. )

Answer 1

Aufgabe 1a)

Weil f stetig in a ist gilt $| f(x)-f(a) | \lt \epsilon$  für alle $\delta \gt 0$ Wegen $| |f(x)|-|f(a)| |\le | f(x)-f(a) | \lt \epsilon$ ist $|f(x)|$ in a stetig.

Aufgabe 1b)

Definiere f(x) als $f(x)=\begin{cases} 1 & \text{für } x \ne 1 \\ -1 & \text{für } x=1 \end{cases}$ Für diese Funktion gilt $|f(x)|=1$ für alle x. D.h aus |f(x)| stetig in a folgt nicht f(x) stetig in a.

Aufgabe 1c)

Definiere $$f(x)=\begin{cases} 1 & \text{für } x \le 0 \\ 0 & \text{für } x\gt 0 \end{cases}$$ und $$g(x)=\begin{cases} 0 & \text{für } x \le 0 \\ 1 & \text{für } x\gt 0 \end{cases}$$ Es gilt $f(x) \cdot g(x) = 0$ also stetig für alle x, aber weder f noch g sind stetig in 0.

Aufgabe 2 kommt nachher

Comments

Jetzt Aufgabe 2)

Die Funktion $$f(x)=\begin{cases} x, & \text{für } x \in \mathbb Q \\ 1-x & \text{für } x \notin \mathbb Q \end{cases}$$ ist überall unstetig außer in $x=\frac{1}{2}$

Das sieht man wie folgt:

Sei zuerst $x\gt \frac{1}{2}$ dann gibt es ein $\delta\gt 0$ s.d. für alle $y \in U_{\delta}(x)$ gilt, $y \gt \frac{1}{2}$. In dieser $\delta$-Umgebung gibt es y mit $y\notin \mathbb Q$. Für dieses y gilt $$|f(x)-f(y)|= |x-(1-y)|=|x+y-1|$$ Wähle jetzt $\epsilon=\delta$

Da $x$ und $y$ beide größer als $\frac{1}{2}$ sind, ist $x+y-1\gt 0$ und somit $|x+y-1|=x+y-1$

Da $y \in U_{\delta}(x)$ ist, gilt $y \gt x-\delta \gt \frac{1}{2}$ und damit kann man wie folgt abschätzen $$|f(x)-f(y)| \gt x+x-\delta -1=2\left(x-\frac{\delta}{2} \right)-1\gt 2 \left( \frac{1+\delta}{2} \right)-1=\delta$$  Daraus folgt f ist nicht stetig für $x \gt \frac{1}{2}$. Für $x \lt \frac{1}{2}$ zeigt man das genauso.

Für $x=\frac{1}{2}$ folgt $f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}$ und  $$\left|f \left( \frac{1}{2} \right)-f(y) \right|=\left| x-\frac {1}{2} \right|$$ Wähle jetzt $\delta=\epsilon$ dann folgt die Stetigkeit in $x=\frac{1}{2}$