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Berechnen Sie Real- und Imaginärteil aller komplexen Zahlen z , für die gilt:
(a)1/z = 3 + 4i
(b) z2= 3 -  4i    vgl. auch Link
(c) z3= 8
(d) z3= -8

 

Ich weiß leider weder was ein Real- noch ein Imaginärteil ist. Wäre also super, wenn das jemand erklären und entweder alle oder jeweils a)c) oder b)d) als Beispiel vorrechnen könnte.

(b) ist ein Duplikat:

(b) z2= 3 -  4i

https://www.mathelounge.de/7184/bestimme-den-real-und-imaginarteil-von-z-wenn-z²-3-4i

Gefragt von
Schau bitte schon mal die ähnlichen Aufgaben an.

(b) ist dort vorgelöst.

1 Antwort

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Wenn du eine komplexe Zahl z in der Form

z = x+iy

mit x, y ∈ ℝ schreibst, dann nennt man x den Realteil von z und y den Imaginärteil von z.

x = Re(z)

y = Im(z)

 

b) ist ja bereits im Link vorgerechnet. Für a) geht man folgendermaßen vor:
 

z = 1/(3+4i)
Erweitere mit dem konjugiert komplexen des Nenners, also mit 3-4i.

Dann kann man unten die 3. binomische Formel verwenden und im Zähler steht einfach 3-4i.

z = (3-4i)/(9+16) = (3-4i)/25

Re(z) = 3/25

Im(z) = -4/25

 

c) Hier muss zuerst die Gleichung gelöst werden, also die Nullstellen von

z³-8 = 0

gefunden werden.
Eine Nullstelle ist 2, die reelle dritte Wurzel aus 8, damit kann man dann eine Polynomdivision durchführen:

(z³-8)/(z-2) = z²+2z+4

Das mit der pq-Formel die weiteren Lösungen liefert:
z2/3 = -1 ± √(1-4)

z2 = -1 + i√3

z3 = -1 - i√3

 

Damit gilt für die Real- und Imaginärteile der Lösungen:

z1: Re(z1) = 2, Im(z1) = 0

z2: Re(z2) = -1, Im(z2) = √3

z3: Re(z3) = -1, Im(z3) = -√3

 

d) Hier muss z³+8 = 0 gelöst werden.

Wiederum triviale Lösung ist z1 = -2, Polynomdivision gibt:

(z³+8)/(z+2) = z²-2z+4

Also die zusätzlichen komplexen Lösungen

z2 = 1 + i√3; Re(z2) = 1, Im(z2)=√3

z3 = 1 - i√3; Re(z3) = 1, Im(z3) = -√3

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