a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von a eine Basis und die Dimension des Vektorraums, der durch folgende Vektoren erzeugt wird:
\( \left(\begin{array}{c}1 \\ a \\ 1 \\ a+1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}a \\ a \\ 1 \\ 2 a\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) \)
b) Lösungen homogener linearer Gleichungssysteme sind Vektorräume (muss nicht gezeigt werden, das erfolgt später).
Bestimmen Sie eine Basis des Vektorraums, der durch folgendes LGS bestimmt wird:
\( \mathrm{x}_{1}+2 \mathrm{x}_{2}-2 \mathrm{x}_{3}-5 \mathrm{x}_{4}+\mathrm{x}_{5}=0 \)
\( \mathrm{x}_{1}+3 \mathrm{x}_{2}+2 \mathrm{x}_{3}-6 \mathrm{x}_{4}+10 \mathrm{x}_{5}=0 \)
\( -2 \mathrm{x}_{1}-4 \mathrm{x}_{2}+2 \mathrm{x}_{3}+9 \mathrm{x}_{4}-6 \mathrm{x}_{5}=0 \)
\( -2 \mathrm{x}_{1}-4 \mathrm{x}_{2}+6 \mathrm{x}_{3}+11 \mathrm{x}_{4}+2 \mathrm{x}_{5}=0 \)
