Question

Entwickle Die Funktion f mit der Gleichung f(x)= sinx nach dem Satz von Taylor in eine Potenzreihe mit dem Entwicklungspunkt a=0

Naja also da komen mir wieder so paar Ideen in den Kopf, was man hier machen müsste. Ich zeig das einfach mal. 

f(x)≈ f(x₀)+f'(x₀)/1!(x-x₀)+f''(x₀)/2!(x-x₀)²+f'''(x₀)/3!(x-x₀)₃.... ∑_n=0ⁿfⁿ/n!(x-x₀)

f(x)= sin(x) = 0

f'(x)= cos(x) = 1

f''(x)= -sin(x) = 0

f'''(x)= -cos(x) = -1

....

f(x)≈ 0+1/1(x-0)+1/2(x-0)²-1/6(x-0)³... könnte man das auch mit der Summenformel also mit dem Sigma darstellen?

Answer 1

Ja. Die Seriendarstellung würde dann wie folgt aussehen

∑ (k = 0 bis ∞) (-1)^k·x^{1 + 2·k}/(1 + 2·k)!

Comments

Hi Mathecoach:)

Stimmt also meine überlegung???? OOOOOOooooooooo

Hmm ok ich verstehe...aber wieso (-1) und dan wieso *x^1+2*KHä Oo

---

Naja. zunächst mal ist jede zweite ableitung 0. die braucht man eh nicht berücksichtigen. Daher taucht k immer im Faktor 2 auf. Weil man immer eine Ableitung überspringt.

Weiterhin siehst du das das Vorzeichen bei den Ableitungen immer wechselt. Das bekommt man mit dem (-1)^k hin.

---

Ah ok

aber das mit *x^1+2*k/(1+2k)! habe ich nicht verstanden.

also bei (1+2k)! habe ich paar Ideen.

! ist doch die Fakultität. Also

1

1*2

1*2*3

1*2*3*4

.............

könntest Du mir noch das vorrechnen? :)

---

Mach doch mal selber die Taylorreihe

x^1/1! - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + x^9/9!

Jetzt überlegst du wie du die Reihe hinbekommst

Was gibt (-1)^k für k = 0 bis unendlich

Was gibt 1 + 2*k für k = 0 bis unendlich

---

AH habs zu spät gesehen:(

Danke:)

ok ich versuch das Morgen. Versprochen. (Denke bitte nicht, dass ich jetzt extra gehe, weil ich das nicht verstehe :D) Ich muss leider schlafen:(

Ich wünsche Dir eine ! :)