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Ich brauche eure Hilfe für folgende Frage:

Sei an  eine konvergente Folge ganzer Zahlen, d.h a : ℕ → ℤ . Zeigen Sie , dass ein Ν existiert, sodass für alle n ≥ N   an+1 = an , d.h. die Folge ist ab N konstant.

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Gemäss Definition des Grenzwertes von konvergenten Folgen (an) mit Grenzwert A gilt: Für jedes ε > 0 gibt es ein N in IN so dass |a- A| < ε für alle n ≥ N.

Nun wählen wir ε = 0.5 und erhalten, da (an) gegen A konvergiert:

Es gibt ein N in IN so dass |a- A| < 0.5 für alle n ≥ N.

Ganze Zahlen, die sich betragsmässig um weniger als 0.5 vom Grenzwert unterscheiden, müssen zwangsweise immer gleich sein. Sie entsprechen alle dem Grenzwert A.

 

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