t1/t2 = (p1/p2)^{1-1/n}, Formel nach n umstellen, alternativer Lösungsweg?

Question

Einmal davon abgesehen, dass ich jeden einzelnen Schritt aufgeschrieben habe und das Ganze natürlich kürzer hätte sein können, würde es mich interessieren, ob Ihr einen anderen Lösungsweg vorgezogen hättet.

Ich möchte mich nämlich nicht an meine Methoden fesseln. Deswegen frage ich immer wieder Mal nach, um vielleicht neue Tricks zu lernen.

Comments

Ich finde, dass du das sehr schön übersichtlich gemacht hast.

Vor allem, dass du

(n-1)/n = 1-1/n

erkannt hast.

Statt  | -1

hätte ich + 1/n - (ln.../ln...) gerechnet, um gleich ein Minus wegzubringen und das n danach links zu haben.

Answer 1

So würde ich es machen:

$$\frac { { T }_{ 1 } }{ { T }_{ 2 } } ={ \left( \frac { { P }_{ 1 } }{ { P }_{ 2 } }  \right)  }^{ 1-\frac { 1 }{ n }  }$$Setze: A = T₁ / T₂ und B = P₁ / P₂ :$$\Leftrightarrow A=B^{ 1-\frac { 1 }{ n }  }$$$$\Leftrightarrow log\left( A \right) ={ log\left( B \right)  }^{ 1-\frac { 1 }{ n }  }$$$$\Leftrightarrow log\left( A \right) =\left( 1-\frac { 1 }{ n }  \right) log\left( B \right)$$$$\Leftrightarrow \frac { log(A) }{ log(B) } =1-\frac { 1 }{ n }$$$$\Leftrightarrow \frac { 1 }{ n } =1-\frac { log(A) }{ log(B) }$$$$\Leftrightarrow n=\frac { 1 }{ 1-\frac { log(A) }{ log(B) }  }$$Nun A wieder durch T₁ / T₂ und B wieder durch P₁ / P₂ zurückersetzen.$$\Leftrightarrow n=\frac { 1 }{ 1-\frac { log\left( \frac { { T }_{ 1 } }{ { T }_{ 2 } }  \right)  }{ log\left( \frac { { P }_{ 1 } }{ P_{ 2 } }  \right)  }  }$$

Answer 2

Ich würde folgenden Lösungsweg bevorzugen. Du machst da zum Teil schon sehr unnötige Umformungen. Wenn eine Gleichung die Unbekannte nur an einer Stelle hat, kann man direkt zur unbekannten auflösen. Man macht da also in keinem Fall 2 Unbekannte draus.

s/t = (p/q)^{1 - 1/n}

LN(s/t) / LN(p/q) = 1 - 1/n

1/n = 1 - LN(s/t) / LN(p/q)

1/n = (LN(p/q) - LN(s/t)) / LN(p/q)

n = LN(p/q) / (LN(p/q) - LN(s/t))

Comments

Ich habe nur die Variablen umbenannt, weil mit Indizes hier nicht wirklich gut zu arbeiten ist.