0 Daumen
1,4k Aufrufe
Das ist die vollständige Frage:

Zeigen Sie, dass die beiden Flächen, die vom Graphen Gf und der Geraden mit g(x) eingeschlossen werden, gleich groß sind.

Gf ist f(x)= 1/8(x+4)^2(x-2)  und die Gerade g ist g(x)= 1/2x-1
von

1 Antwort

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Fertige zunächst ein Schaubild der Graphen von f ( x ) und g ( x ) an, damit du siehst, um welche Flächen es überhaupt geht:

Flächen

Der Graph von f ( x ) ist blau, der von g ( x ) rot eingezeichnet. Man erkennt deutlich, welche Flächen gemeint sind.

Bestimme nun die Schnittpunkte von f ( x ) und g ( x ) durch Gleichsetzen ihrer Funktionsterme und Auflösen nach x:

Durch "scharfes Hinsehen" erkennt man, dass der Funktionsterm von g ( x ) den Faktor ( x - 2 ) enthält. Diesen erhält man explizit, indem man den Faktor 1 / 2 ausklammert, also:

g ( x ) = ( 1 / 2 ) ( x - 2 )

Nun Gleichsetzen:

$$\frac { 1 }{ 8 } { \left( x+4 \right)  }^{ 2 }\left( x-2 \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( x-2 \right)$$

Diese Gleichung ist offensichtlich wahr, wenn der Faktor x - 2 den Wert 0 annimmt, wenn also gilt:

x = 2

Für x ≠ 2 darf man durch ( x - 2 ) dividieren und erhält :

$$\frac { 1 }{ 8 } { \left( x+4 \right)  }^{ 2 }\left( x-2 \right) =\frac { 1 }{ 2 } \left( x-2 \right)$$$$\frac { 1 }{ 8 } { \left( x+4 \right)  }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 2 }$$$$\Leftrightarrow { \left( x+4 \right)  }^{ 2 }=4$$$$\Leftrightarrow x+4=\pm 2$$$$\Leftrightarrow { x=-2-4\vee  }x=2-4$$$$\Leftrightarrow { x=-6\vee  }x=-2$$

Die drei Schnittpunkte f ( x ) und g ( x ) liegen also bei

x = - 6
x = - 2
x = 2

Um nun zu zeigen, dass die beiden Flächeninhalte gleich sind, muss man die Gleichheit der Beträge der Integrale über die Differenzen von f und g zeigen, zum Einen im Intervall - 6 bis -2 und zum Anderen im Intervall - 2 bis 2.

Man muss also zeigen:

$$\left| \int _{ -6 }^{ -2 }{ f(x)-g(x)dx }  \right| =\left| \int _{ -2 }^{ 2 }{ f(x)-g(x)dx }  \right|$$$$\Leftrightarrow \left| \int _{ -6 }^{ -2 }{ \frac { 1 }{ 8 } { x }^{ 3 }+\frac { 3 }{ 4 } { x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } { x }-3 dx }  \right| =\left| \int _{ -2 }^{ 2 }{ \frac { 1 }{ 8 } { x }^{ 3 }+\frac { 3 }{ 4 } { x }^{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } { x }-3 dx }  \right|$$$$\Leftrightarrow \left| { \left[ \frac { 1 }{ 32 } { x }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 4 } { { x }^{ 2 } }-3x \right]  }_{ -6 }^{ -2 } \right| =\left| { \left[ \frac { 1 }{ 32 } { x }^{ 4 }+\frac { 1 }{ 4 } { x }^{ 3 }-\frac { 1 }{ 4 } { { x }^{ 2 } }-3x \right]  }_{ -2 }^{ 2 } \right|$$$$\Leftrightarrow \left| \left( \frac { 1 }{ 2 } -2-1+6 \right) -\left( \frac { 81 }{ 2 } -54-9+18 \right)  \right| =\left| \left( \frac { 1 }{ 2 } +2-1-6 \right) -\left( \frac { 1 }{ 2 } -2-1+6 \right)  \right|$$$$\Leftrightarrow \left| 3,5-(-4,5) \right| =\left| -4,5-3,5 \right|$$$$\Leftrightarrow \left| 8 \right| =\left| -8 \right|$$$$\Leftrightarrow 8=8$$

Damit ist die Gleichheit gezeigt und auch der Wert des Flächeninhaltes berechnet.

 

Etwas einfacher und ohne Integral ist die Gleichheit zu zeigen, wenn man die Symmetrie ausnutzt. Beide Graphen scheinen punktsymmetrisch zum Punkt ( - 2 | - 2 ) zu sein. Zum Nachweis, dass dies der Fall ist, verschiebt man beide Graphen so, dass dieser Punkt im Ursprung zu liegen kommt, also:

f*( x ) = f ( x - 2 ) + 2 = ( 1 / 8 ) ( x - 2 + 4 ) 2 ( x - 2 - 2 ) + 2 = ( 1 / 8 ) ( x + 2 ) 2 ( x - 4 ) + 2

g* ( x ) = g ( x - 2 ) + 2 = ( 1 / 2 ) ( x - 2 ) -1 + 2 = ( 1 / 2 ) x

Diese sehen dann so aus:

Flächen

 

Nun zeigt man die Symmetrie dieser verschobenen Funktionen zum Ursprung, dass also gilt:

f * ( x ) = - f * ( x )

sowie:.

g * ( x ) = - g * ( - x )

Wenn beide Funktionen symmetrisch zum Ursprung sind, dann müssen auch die beiden von ihnen eingeschlossenen Flächen gleich groß sein.

Also:

$${ f }^{ * }(x)={ -f }^{ * }(-x)$$$$\Leftrightarrow \frac { 1 }{ 8 } (x+2)^{ 2 }(x-4)+2=-\left( \frac { 1 }{ 8 } (-x+2)^{ 2 }(-x-4)+2 \right)$$$$\Leftrightarrow (x+2)^{ 2 }(x-4)+16=-(-x+2)^{ 2 }(-x-4)-16$$$$\Leftrightarrow ({ x }^{ 2 }+4x+4)(x-4)+32=({ x }^{ 2 }-4x+4)(x+4)$$$$\Leftrightarrow { x }^{ 3 }-4{ x }^{ 2 }+4{ x }^{ 2 }-16x+4x-16+32={ x }^{ 3 }-4{ x }^{ 2 }+4{ x }^{ 2 }-16x+4x+16$$$$\Leftrightarrow 0=0$$

sowie

$${ g }^{ * }(x)={ -g }^{ * }(-x)$$$$\Leftrightarrow \frac { 1 }{ 2 } x=-\frac { 1 }{ 2 } (-x)$$$$\Leftrightarrow 0=0$$

Beide Funktionen sind also symmetrisch zum Ursprung und damit sind auch die von ihnen eingeschlossenen Flächen gleich groß.

von 32 k
@JotEs
Es fällt mir spontan auf das du dir jede Menge Arbeit
gemacht hast.
Es gibt wahrscheinlich mehrere Möglichkeiten den
geforderten Nachweis zu erbringen.

- Die Skizze zeigt das g Punktsymmetrisch zu ( - 2 | -2 ) ist.
  Die Gerade f verläuft ebenfalls durch diesen Punkt.
  Deshalb sind auch die weiteren Schnittpunkte punkt-
  symmetrisch zu einander.
  Damit müßten die Flächen auch gleich groß sein.

- Schnittpunkte feststellen.
  Differenzfunktion ( g - f ) bilden
  Stammfunktion der Differenztfunktion bilden
  und die Integrale von / bis berechnen.

mfg Georg
Vielen Dank euch beiden jetzt kann ich das mehr nachvollziehen durch die Schaubilder und den Rechenweg. Herzlichen Dank!!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community