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Für \( c \geq-1 \) sei \( f_{c}: \mathbb{R} \backslash\{1\} \rightarrow \mathbb{R} \) die Funktion

\( f_{c}(x)=\left\{\begin{array}{rlr} e^{x}-1 & , & x<1 \\ \sqrt{x+c} & , & x>1 \end{array}\right. \)


Wie zeige ich hier die Stetigkeit? Oder wie lässt sie sich zumindest begründen? Kann man diese Funktion in WolframAlpha plotten lassen, wenn ja wie?

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f(xo) = lim x->x0+f(x) = lim x->x0-f(x)

@Bepprich
Ich bin zwar nicht der Fragesteller habe mich aber mich
der Aufgabe beschäftigt.
Mir ist dein Kommentar völlig unklar.
Könntest du ihn mir erklären ?
mfg Georg
es gibt einen rechtsseitigen ("+") und einen linksseitigen Grenzwert (" - ") an einer Stelle x0

Und wenn mich nicht alles täuscht, ist was stetig, wenn diese beiden Grenzwerte gleich dem Funktionswert an der Stelle x0 sind?
Ich teile dir einmal meine Überlegungen mit

e^x -1 für x < 1
√ ( x + c ) für x > 1
x + c >= 0
c >= -x
c >= -1

Gesucht wird das c mit dem die
Funktion vielleicht stetig sein könnte

Sollte die Funktion in x = 1 stetig sein gilt
e^x - 1 = √ ( x + c )
e - 1 =  √ ( 1 + c )   | ( )^2
( e - 1 )^2 = 1 + c
e^{2}  - 2 * e + 1 = 1 + c
e^{2}  - 2 * e = c
c = 1.9525

Probe
e^{1} -1 = 2.7183 - 1 = 1.7183
√ ( 1 + 1.9525 ) = 1.7183

Für c = 1.9525 wäre die Funktion stetig.

Auf absolute Feinheiten mit lim usw habe ich verzichtet.
Bliebe noch zu klären : da die Funktion in D = ℝ \ { -1 }
definiert handelt es sich bei der Lösung auch um eine
Erweiterung des Def-Bereichs.

mfg Georg

1 Antwort

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Es handelt sich um eine " erweiterbare Funktion ".
( Ich müßte nocheinmal im Internet genau nachschauen und den
Link hiereinstellen )

c ≥ -1

Es gilt für
c ≠ e2  - 2 * e die in der Fragestellung angegebene
Funktion f c ( x ) = ...
für D = ℝ \ { -1 }

Da -1 aus dem Def-Bereich ausgeschlossen wurde
ist die Funktion in ganz ℝ nicht stetig.

Erweiterbar für
c = e2  - 2 * e die Funktion 
{ ex -1         für x <= 1
{ √ ( x + c )  für x > 1

oder
{ ex -1         für x < 1
{ √ ( x + c )  für x >= 1

... für D = ℝ

Die Funktion ist in ganz ℝ stetig, da
linksseitiger Grenzwert = Funktionswert = rechtsseitiger Grenzwert.

Herleitung siehe meinen Kommentar " Ich teile dir einmal ... "

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mfg Georg

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