Kurvendiskussion, Funktion 3. Grades: In einem alten Kirchturm befindet sich eine Glocke. Risse im Kirchturm...

Question

ich bereite mich gerade für eine matheprüfung vor und sitze gerade an ein paar aufgaben, die ich leider nicht lösen kann.

Die Aufgabe lautet:

In einem alten Kirchturm befindet sich eine Glocke. Als man vermehrt Risse im Kirchturm feststellt, vermutet man, dass die Glocke zu schwer sei. Aus diesem Grund soll das Gewicht der Glocke bestimmt werden.

Da keinerlei Angaben über die Konstruktion vorliegen und die Glocke auch nicht gewogen werden kann, soll eine mathematische Modellierung zu Hilfe gezogen werden, um das Gewicht der Glocke zu ermitteln.

Die Glocke ist 2m hoch und besteht aus Bronze.

Folgenede Messpunkte kannst du als Punkte des Außenrandes in einem geeigneten Koordinatensystem heranziehen:

N(2/0), P(0,5/0,58), W(1/0,47)

Ermiitle eine passende Funktion 3. Grades zu diesen Angaben. (Gehe davon aus, dass W ein Wendepunkt ist, und erläutere Sie mit Hilfe dr Kurvendiskussion). Beurteile deine Modellierung.

Überlege, welche Möglichkeiten es gäbe die Glockenform zu modellieren, wenn man mehrere Funktionen zu Hilfe nimmt. Beschreibe was dabei zu beachten ist.

Die Glocke kann als ein Körper betrachtet werden, der durch Rotation um die x-Achse entsteht. Ermittle das Gewicht der Glocke. Triff dazu zunächst geeignete Angaben.

Ich hoffe einer von euch kann mir da helfen :S

mfg

Comments

So wie ich das verstehe sollst du nicht 2 Funktionen finden die die Glocke beschreiben. Du sollst nur Beschreiben welche Möglichkeiten es gibt die Glocke mit mehreren Funktionen zu beschreiben.

Zur Modellierung mit beliebig vielen Funktionen kann man die Glocke durch beliebig viele Punkte und dazwischenliegenden Funktionen annähern. Je mehr Stützstellen man nimmt desto genauer wird vermutlich die Funktion werden. Es sollte darauf geachtet werden das die Funktionen zumindest Sprungfrei ineinander übergehen. Knickfrei hängt natürlich von der genauen Form der Glocke ab. Außerdem sollte es natürlich auf der x-Achse keine Definitionslücken im Bereich der Glocke geben.

Vielleicht fällt noch jemanden etwas ein.

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Gibt es hier schon. immai hat wohl bisher nicht die Zeit gefunden: https://www.mathelounge.de/126601/kurvendiskussion-funktion-3-grades#a126602

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Oh danke für den Hinweis. Und an den Fragesteller. Es ist unhöflich hier Fragen mehrfach zu stellen. Und wenn man das schon macht braucht man sie nicht nochmal stellen sondern vielleicht nur einen Link setzen ob man noch eine Antwort zur Frage bekommen kann.
Außerdem ist das deine Prüfung und du solltest da auch schon ein wenig Eigenleistung investieren. Nur vom Abschreiben alleine lernst du es nicht und kannst es dann auch nicht gut präsentieren.

Ich komme übrigens für die Glocke selber im Gegensatz zu Immai auf die Funktion

f(x) = - 1/3·x^3 + x^2 - 341/300·x + 47/50

Da ist mein Wert vor dem c nur etwas anders und ich habe nicht gerundet sondern Brüche stehenlassen.

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Was ist denn mit Möglichkeiten gemeint ? Etwa, dass ich sage,  man könnte eine Funktion 4. Grades oder 5. Grades verwenden, sodass dies am meisten dem Graphen der Glocke entspricht?

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Du sollst nicht unbedingt eine Funktion höheren Grades nehmen sondern nur mehr Funktionen. Z.B. eine die die Glocke im Intervall von 0 bis 1 beschreibt und eine die die Glocke im Intervall von 1 bis 2 beschreibt.

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Bitte alle Fragen die zu einer Aufgabe gehören auch nur einmal stellen. Danke.

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hey :),

könntest du mir vielleicht deinen Rechenweg schicken? wäre echt nett von dir .


mfg

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Ich habe das auf die schnelle gtr benuetzt.^^

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ein beispiel aufgabe vielleicht hilft es ja^^

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Soll ich auch erwähnen, wie ich auf solch eine Funktion komme , denn ich hab überhaupt keine AhnungAhnung

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Du brauchst dafür noch mehr Punkte der Glocke. Und kannst dann jeweils wischen zwei Punkten eine Funktion legen.

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Ich weiß ja nur dass es bei 2 eine nullstelle gibt und dass der Graph die y Achse bei 0.94 schneidet. Ich kann ja mit diesen Angaben nichts anfangen oder nicht? Als Antwort wird es bestimmt nicht reichen zu sagen dass man mehrere Funktion verwendet die diese punkte schneiden oder nicht?

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Du sollst nur beschreiben welche Möglichkeiten es gibt.
Wenn die Aufgabe ist du sollst untersuchen Welche Möglichkeiten es gibt von Hamburg nach München zu kommen, dann kannst du sagen, mit dem Auto, mit der Bahn, mit dem Flugzeug. Das heißt aber nicht das du dich jetzt selber auf den Weg von Hamburg nach München machen sollst.

Answer 1

F(x)=-0.6x^3+1.95x^2-2.09x+1.213. So lautet die funktion erstmal. F(2)=0. F(0.5)=0.58. F(1)=0.47 F''(1)=0 F(x)=3ax^2+2bx+c+0. PI×INT(-0.6/4x^4+1.95/3x^3-2.09/2x^2+1.213x.

Comments

Es muestte etwa 6.58 wiegen.

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das ist klasse. kannst du mir vlt. sagen wie du die funktion bestimmt hast, und wwarum man die werte jeweils in die funktion einsetzt?


mfg

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Also die punkte sind ja gegeben. W ist ja ein wendepunkt. Also muss die 2 ableitung 0 sein. F(x)=ax^3+bx^2+cx+d F'(x)=3ax^2+2bx+c+0 F''(x)=(6ax+2+0+0. Tut mir leid ich hab da ein fehler ich hab nur einmal abgeleitet ich korrigiere es gleich schnell.

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F(x)=-0.33x^3+1x^2-1.123x+0.94 muss es sein.

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Gewicht muesste dann so 6.16 sein

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ich weiß leider immer noch nicht, wie man die funktion rechnerisch bestimmen kannst :S

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Du hast ja punkte gegebn die setzt du in die gleichungen ein die ich auch geschrieben habe. Dann kannst du gtr benützen oder gaussverfahren. Noch fragrn?^^

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um das alles nachzuvollzihen brauch ich schon den Rechenweg. Es wäre echt nett wenn du mir sagen könntes, wie du auf die Lösungen kommst.

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Kann ich ja mal versuchen^^.

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ist es so ok?

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achso ok. Ja danke ich hab das jetzt verstanden. Du hast 4 Unbekannte und du löst es mit dem Gauss Verfahren. Danke dir. Kannst du mir vielleicht aber auch die anderen beiden Aufgaben erklären?


mfg

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Du muss intergrieren und mal pi nehmen.

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um das Gewicht zu bestimmen? könntest du mir sagen warum ich das machen muss?

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Hier kannst du es nachlesen^^ https://de.wikipedia.org/wiki/Gauß-Quadratur

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ich versteh da leider nur bahnhof. Vlt. könntest du mir ja dein rechenweg schicken :).

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Ich kann leider grad nicht. Ich koennts aber später machen.

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das waere trotzdem nett. ich würde warten. die prüfung ist nämlich extrem wichtig. vielleicht knn ir ja ein anderer in der zwischenzeit noch helfen :S

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Hallo meine lieben Mitmenschen. Wisst ihr denn bzw. Weiß du wie die 2. Aufgabe geht?

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nein tut mir Leid. Bin ja selber überfordert :S. Hatte gehofft einer kann mr hier dabei helfen.

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Yo ich kann heute wieder^^ Also bronze wiegt 8.7 g/cm^3. Das solltest du wissen.

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das sollte jetzt richtig sein falls ich kein fehler gemacht habe

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noch fragen???

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Wie kommst du ndn darauf ? Ich hab als Volumen 1.61 heraus und die dicht beträgt 8.7, dass heißt man multipliziert die beiden miteinander und als erbenis habe ich 14 heraus

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Wie hast du für volumen 1.61 raus? Und hast du die hoehe 2 meter bedacht?

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Wenn man die Funktion die du oben erwähnt hast benutzt und dann die Formel für die Berechnung eines Volumens, dann kriegt man 1.61 heraus. Die höhe wird ja nirgends verwendet. Ich meine das integral der Funktion zu bilden hat ja nichts mit der Höhe zu tun oder nicht?

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Die hoehe wird schon verwendet^^ Aber 14 sollte richtig sein

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Ich hab das mit dem integral Zeichen vom Taschenrechner gemacht aber als ich es aufgeschrieben habe kam dies raus. Ist das nicht richtig?

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Inwiefern wird denn die höhe verwendet?

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Warum hast du die 2 benuetzt^^

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Beim integrieren benutz man doch die Aufleitung oder tappe ich im dunkeln?

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Genau das ist richtig beim intergrieren benuetzt man ^^"aufleiten"^^

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Ich habe die 2 und 0 benutzt, weil man das integral von 0 bis 2 berechnen muss.
Da hab ich 1.61 beim Taschenrechner heraus aber christlich halt -4.188 s.o.

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Und warum von 0 bis 2^^.christlich??

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Wenn man den Graphen der Funktion zeichnet erhält man diese beiden x werte.

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Ja genau das stinmt^^

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Könntest du mir sagen warum ich es schriftlich falsch gemacht habe?

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Ich sehe hier leidrr nix schriftliches^^

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Ah ich musste nur auf etwas druecken. beachte noch die 0 damit sind es nicht minus sondern plus. (Brim intrrgral meine ich.

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Wenn ich die 0 noch beachte wird sich glaube ich nichts ändern denn wenn ich 0 eintrage kommt 0 raus

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Ja aber damit wird dein ergbnis plus nicht negativ^^

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Ja aber auch wenn es Plus ist stimmt es mit dem Wert vom Taschenrechner nicht überein. Der zeigt nämlich 1.61. Das heißt doch, dass die stammfunktion entweder falsch ist oder meine Rechnung. Und wo spielt jetzt die Höhe eine Rolle?

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Wo hast du 1.61 raus vom Integral 0 bis 2 f(x)?

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∫ (0 bis 2) pi·(- 1/3·x^3 + x^2 - 341/300·x + 47/50)^2 = 123427/236250·pi = 1.641300979

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Ja genau sowie mathecoach. Könntest du jez meine Frage beantworten oder auch mathecoach und sagen, wo die Höhe eine Rolle spielt?

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Ich hatte es nicht quadriert^^ Warum denkst du macht man von 0 bis 2?^^

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Die Glocke wird sicher über ein Rotationsintegral beschrieben. 2 ist eine Nullstelle. Und bei einer Höhe von 2 m denke ich ist dann von 0 bis 2 zu integrieren.

Die Glocke sieht in etwa so von der Seite aus

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Allerdings sollte man nicht davon ausgehen das die Glocke massiv ist. Sie wird eher innen hohl und offen sein. Allerdings kommt ja noch eine Masse für den Stößel dazu.

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Ja das denke ich auch aber wie soll man den Innenraum vom gesamten Volumen abziehen. Das bleibt. Ir ein Rätsel ?

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Das ist kein Rätsel. Du musst halt noch eine Funktion für die Abgrenzung zum Hohlraum definieren.

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Wie würde man dies schriftlich aufschreiben? Also man nimmt ja die Auflistung usw. Wie würde man denn das Volumen berechnen bzw. Wie würde die Rechnung aussehen wenn man es schriftlich machen würde? die Frage geht an euch beide

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Das heißt ich erstelle eine Funktion parallel zu der jetzigen mit einem niedrigeren Wert an der y- Achse und subtrahiere die beiden Volumen voneinander?

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Genau^^ aber mit einem niedriegerem hoehe

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Kann trotzdem jemand meine Frage beantworten nämlich:Wie würde man dies schriftlich aufschreiben? Also man nimmt ja die Auflistung usw. Wie würde man denn das Volumen berechnen bzw. Wie würde die Rechnung aussehen wenn man es schriftlich machen würde? die Frage geht an euch beide


die volumenformel

Answer 2

aus Duplikatsfrage:

Kann mir einer die einzelnen Schritte zu diesem gleichungssystem zeigen. Wie man nacheinander die Nullen herauskriegt?

a.   B.     C.    D.
8.    4.     2.     1. = 0

1.     1.      1.    1 = 0,47

0.125 0.25 0.5 1. = 0.58

6.    2.    0.        0.   = 0

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$$\left( { \begin{matrix} A & B & C & D \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0,125 & 0,25 & 0,5 & 1 \\ 6 & 2 & 0 & 0 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} \quad  \\ 0 \\ 0,47 \\ 0,58 \\ 0 \end{matrix} } \right) $$3.Z=3.Z * 8$$\rightarrow \left( { \begin{matrix} A & B & C & D \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 6 & 2 & 0 & 0 \end{matrix} }|{ \begin{matrix}  \\ 0 \\ 0,47 \\ 4,64 \\ 0 \end{matrix} } \right)$$Spaltenreihenfolge umkehren$$\rightarrow \left( { \begin{matrix} D & C & B & A \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} \\ 0 \\ 0,47 \\ 4,64 \\ 0 \end{matrix} } \right) $$1.Z und 3, Z vertauschen$$\rightarrow \left( { \begin{matrix} D & C & B & A \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} \quad  \\ 4,64 \\ 0,47 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} } \right) $$3.Z := 3.Z - 2.Z$$\rightarrow \left( { \begin{matrix} D & C & B & A \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} \\ 4,64 \\ 0,47 \\ -0,47 \\ 0 \end{matrix} } \right) $$ 2.Z:=8*2.Z-1.Z$$\rightarrow \left( { \begin{matrix} D & C & B & A \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 6 & 7 \\ 0 & 1 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} \\ 4,64 \\ -0,88 \\ -0,47 \\ 0 \end{matrix} } \right) $$ 3.Z:=4 * 3.Z - 2.Z$$\rightarrow \left( { \begin{matrix} D & C & B & A \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 6 & 21 \\ 0 & 0 & 2 & 6 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} \\ 4,64 \\ -0,88 \\ -1 \\ 0 \end{matrix} } \right) $$ 4.Z := 3 * 4.Z - 3.Z$$\rightarrow \left( { \begin{matrix} D & C & B & A \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 6 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \end{matrix} }|{ \begin{matrix} \\ 4,64 \\ -0,88 \\ -1 \\ 1 \end{matrix} } \right) $$$$\rightarrow $$$$ -3A=1$$$$\Leftrightarrow A=-\frac { 1 }{ 3 } $$$$6B=-1-21A=-1-21*\left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right) =6$$$$\Leftrightarrow B=1$$$$ 4C=-0,88-6B-7A=-0,88-6+\frac { 7 }{ 3 } =\left( -\frac { 13,64 }{ 3 }  \right) $$$$\Leftrightarrow C=\left( -\frac { 3,41 }{ 3 }  \right) $$$$ 8D=4,64-4C-2B-A=4,64-4*\left( -\frac { 3,41 }{ 3 }  \right) -2-\left( -\frac { 1 }{ 3 }  \right) =4,11$$$$\Leftrightarrow D=0,94$$

Answer 3

aus Duplikatsfrage:

Ich habe die Funktion f(x)= -1/3x³+x²-341/300+0.94
die Formel würde ja lauten : Pi *0-2 (-1/3x³+x²-341/300+0.94)² oder nicht?

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Vorausbemerkungen:

1) Fehlt da eventuell ein x hinter 341/300 ?

2) Was du da angibst, ist keine Formel, sodern lediglich ein Term.

Eine Formel hat immer die Form einer (Un-)Gleichung. Sie muss also ein (Un-)Gleichheitszeichen enthalten, auf dessen linker Seite die zu berechnende Größe und auf deren rechter Seite eine Berechnungsvoschrift für diese Größe steht.

Deine Formel sollte also mit V = beginnen.

 

Zu deiner Frage:

Das Volumen V des Körpers, welcher vonder Kurve f ( x ) durch die Rotation um die x-Achse im Intervall [ a , b ]  umfahren wird, ist:

$$V=\pi \int _{ a }^{ b }{ { \left( f\left( x \right)  \right)  }^{ 2 } }$$

In deinem Fall scheint der Berechungsterm etwas "verunglückt" zu sein (das Integralzeichen fehlt). Ich vermute aus dem, was zu lesen ist, dass das Intervall [ a , b ] = [ 0 , 2 ] sein soll.
Wenn ich weiterhin annehme, dass hinter dem Bruch 341 / 300 tatsächlich ein x fehlt und ich dieses ergänze, so erhalte ich für das gesuchte Volumen folgende Berechnungsvorschrift ("Formel") :

$$V=\pi \int _{ 0 }^{ 2 }{ { \left( -\frac { 1 }{ 3 } { x }^{ 3 }+{ x }^{ 2 }-\frac { 341 }{ 300 } x+0,94 \right)  }^{ 2 } } dx$$

Comments

Das Ergebnis deiner Rechnung ist 1.641 und wenn ich das Gewicht des Körpers berechnen will muss ich ja  das Volumen mit der Dichte multiplizieren. Der Körper besteht aus Bronze, dass heißt dass ich mit

8.7 g/cm multipliziere oder nicht? Hätte ich somit die Masse heraus? Ich habe dann 14.28 heraus. Also 14kg?

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Ja, auf diese Weise kann man die Masse berechnen. Die Einheit ist allerdings abhängig von der Einheit, in der a und b angegeben sind. 

Sind a und b in cm angegeben, dann ergibt sich (falls der Wert 1,61 stimmt):

V = 1,61 cm ³

und damit

M = V * ρ

= 1,61 cm ³ * 8,7g / cm ³ = 14,0 g

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A eine Einheit auf der x Achse entspricht 1 Meter . Dies heißt das a und b in Meter angegeben sind . Wie wäre denn das Ergebnis jetzt?

Answer 4

N(2/0) ; P(0,5/0,58) ; Wendepunkt W(1/0,47)

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

f(2) = 0
8·a + 4·b + 2·c + d = 0

f(0.5) = 0.58
0.125·a + 0.25·b + 0.5·c + d = 0.58

f(1) = 0.47
a + b + c + d = 0.47

f''(1) = 0
6·a + 2·b = 0

 

Das Gleichungssystem lautet also wie folgt

8·a + 4·b + 2·c + d = 0
0.125·a + 0.25·b + 0.5·c + d = 0.58
a + b + c + d = 0.47
6·a + 2·b = 0

 

Bitte probiere zunächst eine Lösung alleine. Du solltest auf folgende Lösung kommen: 
a = - 1/3 ∧ b = 1 ∧ c = - 341/300 ∧ d = 47/50

 

Wnn nicht dann stell bitte Deine Rechnung online damit sich das jemand ansehen kann.