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Man löse diese Ungleichung

|x+2|<3

Ich verstehe das einfach mit den Betragsgleichungen nicht. Also wären diese Betragsstriche nicht da, dann könnte ich das lösen. Laut Lösung im Buch soll (-5,1)

Ich denke mir jetzt einfach mal die Betragsstriche weg:

x+2<3 |-2

x<1

Naja das scheint zu gehen?

|a| kann man auch schreiben als √a2

(√x+2)2<3

ne da kommt nicht -5 raus?

 

oder braucht man hier eine Fallunterscheidung? Wann macht man eine Fallunterscheidung?

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3 Antworten

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Beste Antwort

|x + 2| < 3

(x + 2)^2 < 9

x^2 + 4x + 4 < 9

x^2 + 4x - 5 < 0

-5 < x < 1

Wo ist genau das Problem?

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Mein Problem sind diese Betragsstriche

Du hast jetzt |x+2| zu (x+2)2 gemach. Ja das ist die 1.Binomische Formel. Aber wieso jetzt zur Binomischen Formel? Ja ich weiß auch, dass man |x| auch als √x2 schreiben kann... aber hier ist jetzt keine Wurzel?

|x + 2| < 3

Ich habe gesagt |z| = (z^2). Also kann ich schreiben

((x + 2)^2) < 3

Nun beide Seiten Quadrieren um die Wurzel wegzubekommen

(x + 2)^2 < 9

Der Rest wie oben. Ich hatte das doch aber nun jetzt schon an gefühlten 20 Aufgaben vorgemacht.

Ja das hattest Du schon mehrfach gesagt :(
ich mach mal zur probe eine aufgabe jetzt muss ich das aber verstehen

@ Der_Mathecoach:

Vielleicht solltest du diesen Schritt:

x2 + 4x - 5 < 0
-5 < x < 1

noch ein wenig genauer darstellen.

woow so viel hab ich schon über diese Ungleichungen gefragt... ich muss das jetzt verstehen..
Ich hatte in einer vorherigen Aufgabe zu Emre erwählt, dass wenn man eine nach oben geöffnete Parabel hat und schauen soll wo die Funktionswerte unterhalb der x-Achse liegen dann können das nur die Stellen zwischen den Nullstellen sein.

Emre Soll sich mal beliebige nach oben geöffnete Parabeln zeichnen und dann immer den Bereich von x bestimmen für den die Funktionswerte unter der x-Achse liegen. Und dann soll er das mal verallgemeinern.
Ja ich mach das mal jetzt

ich muss das jetzt echt langsam verstehen... tut mir leid für die vielen Fragen :(
@Emre: Liest du den auch die Theorie in dem Buch oder schaust du nur nach den Aufgaben ?
Naja ich lies das aber so ganz verstehe ich die Theorie auch nicht. Ich versuchs halt zu verstehen ..
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Bei Beträgen muss man in aller Regel eine Fallunterscheidung machen. Man muss nämlich unterscheiden, ob der Term in den Betragsstrichen kleiner als Null oder größergleich Null ist.

Der Betrag ist so definiert:

| x |= x, falls x ≥ 0

| x |= - x , falls x < 0

Also

Fall 1:  x + 2 ≥ 0 <=> x ≥ - 2

Dann:

| x + 2 | < 3

<=> x + 2 < 3

<=> x < 1

Also:

L1 = { x ∈ R | x ≥ - 2 und x < 1 } = { x ∈ R | - 2 ≤ x < 1 }

Fall 2:  x + 2 < 0 <=> x < - 2

Dann:

| x + 2 | < 3

<=> - x -  2 < 3

<=> - 5 < x

Also:

L2 = { x ∈ R | x <- 2 und x > - 5 } = { x ∈ R | - 5 < x < - 2 }

 

Die Lösungsmenge der Ungleichung ist dann die Vereinigungsmenge der Lösungsmengen aller Fälle, also:

L = L1 ∪ L2

= { x ∈ R | - 2 ≤ x < 1 } ∪ { x ∈ R | - 5 < x < - 2 }

= { x ∈ R | - 2 ≤ x < 1 oder  - 5 < x < - 2  }

= { x ∈ R | - 5< x  < 1 }

Avatar von 32 k
Ahhhhhhhhhhh JotEs ich habe deine Lösung erst jetzt gesehen :(

hab erst den Stern vergeben und dann wieder auf den Liveticker geguckt :(

tut mir echt leid :(

Danke für deine ausführlichr Antwortt!!! :)

ich les mir das gleich durch:)
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" |a| kann man auch schreiben als √a2
(√x+2)2<3 "

hier hast du die Klammer falsch gesetzt. Es muß heißen
√ (x+2)2 < 3  

Ein anderer Ansatz mit Fallunterscheidung

| wert | heißt mathematisch
falls wert > 0 dann | wert | = wert
Beispiel  | 4 | = 4
falls wert < 0 dann | wert | = (-1) * wert
Beispiel | -4 | = 4 entspricht ( (-1) * (-4) = 4

Fallunterscheidung
falls
x - 2 > 0 dann :
x - 2 < 3
x < 5
falls
x - 2 < 0 dann :
( x - 2 ) *( -1 ) < 3
-x + 2 < 3
x > -1

( x > -1 ) und ( x < 5 )
-1 < x < 5

mfg Georg




 


 

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