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Koeffizientenvergleich durchführen:

\( 4 a t \cdot \sin (2 t)-12 b t \sin (2 t)+4 b t \cdot \cos (2 t)+4 a \cdot \cos (2 t) \)
\( +4a \cdot \sin (2 t)+ 8\operatorname{at} \cdot \cos (2 t)+4 b \cdot \cos (2 t)=16 \sin (2 t) \)

Wie gehe ich hier vor um a und b herauszufinden?

Avatar von

Das ist meiner Meinung nach falsch. Du kannst 4 Gleichungen aufstellen (kannst Du das auch?), welche aber keine gemeinsame Lösung haben.

Also ich möchte mit dieser gleichung eine inhomogene dgl 2. ordnung lösen.

x''+4x'+8x=16sin(2t)   mit x(0)=1 und x'(0)=2


Also da die terme mit der zeit sehr lang und unübersichtlich werden habe ich alles ganz ausführlich zusammen gefasst.
das t macht schwierigkeiten..

Danke für deine hilfe!

1 Antwort

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Beste Antwort

So, jetzt können wir arbeiten^^. Was Du da hast, stimmt leider tatsächlich nicht. Schon weil Dein Ansatz unnötig "groß" war.

 

Für die partikuläre Lösung lohnt sich der Ansatz:

x = Asin(2t) + Bcos(2t)

Damit:

x' = 2Acos(2t) - 2Bsin(2t)

x'' = -4Asin(2t) - 4Bcos(2t)

 

Einsetzen (sin(2t) = s und cos(2t) = c):

(-4A*s - 4B*c) + 4*(2A*c - 2B*s) + 8*(A*s + B*c) = 16*s

Sortieren wir nach s und c:

(-4A-8B+8A)*s + (-4B+8A+8B)*c = 16*s

Vergleichen (und zusammenfassen):

4A-8B = 16

4B+8A = 0

 

--> A = 4/5 und B = -8/5

 

Damit ist die partikuläre Lösung:

xp = 4/5*sin(2t) - 8/5*cos(2t)

 

Die homogene Lösung hast Du schon, ja? :)

Achte natürlich darauf, dass obiger Ansatz nur funktioniert, wenn kein Resonanzfall vorliegt (hier nicht der Fall).

Alles klar?

 

Grüße

Avatar von 141 k 🚀
Ja die Lösung der homogenen Gleichung habe ich. Dankeschön!
Das mit der Resonanz habe ich bereits gehört aber leider vergessen darauf zu achten.


DANKE!!
Hat ja hier nichts ausgemacht :D.

Dann nur noch Anfangsbedinungen einsetzen ;).

Gerne.

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