Aufgabe:
Im folgenden bezeichen p=p2x2+p1x+p0 und q=q2x2+q1x+q0 immer Polynome im R≤2[x].
a) Zeigen Sie, dass die Abbildung
⟨⋅,⋅⟩b : R≤2[x]×R≤2[x]→R⟨p,q⟩b=p2q2−p2q1−p1q2+p1q1+p0q0
kein Skalarprodukt des R≤2[x] ist. Hinweis: Welche Eigenschaft eines Skalarprodukts ist verletzt? Finden Sie ein Gegenbeispiel.
b) Gegeben sei das Skalarprodukt
⟨⋅,⋅⟩g : R≤2[x]×R≤2[x]→R⟨p,q⟩g=2p2q2+p1q1+p1q0+p0q1+2p0q0
für den Vektorraum R≤2[x] sowie die Basis B={b1,b2,b3} des R≤2[x] mit b1=21x2,b2=x−1 und b3=x.
Zeigen Sie, dass B eine Orthonormalbasis bzgl. ⟨⋅,⋅⟩g des R≤2[x] ist.
c) Berechnen Sie die Abbildungsvorschrift der Koordinatenabbildung KB mit Aufgabenteil b).