0 Daumen
1,1k Aufrufe

Aufgabe:

Im folgenden bezeichen p=p2x2+p1x+p0 p=p_{2} x^{2}+p_{1} x+p_{0} und q=q2x2+q1x+q0 q=q_{2} x^{2}+q_{1} x+q_{0} immer Polynome im R2[x] \mathbb{R}_{\leq 2}[x] .

a) Zeigen Sie, dass die Abbildung

,b : R2[x]×R2[x]Rp,qb=p2q2p2q1p1q2+p1q1+p0q0 \begin{aligned} \langle\cdot, \cdot\rangle_{b}: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \times \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \rightarrow \mathbb{R} \\ \langle p, q\rangle_{b} &=p_{2} q_{2}-p_{2} q_{1}-p_{1} q_{2}+p_{1} q_{1}+p_{0} q_{0} \end{aligned}

kein Skalarprodukt des R2[x] \mathbb{R}_{\leq 2}[x] ist. Hinweis: Welche Eigenschaft eines Skalarprodukts ist verletzt? Finden Sie ein Gegenbeispiel.

b) Gegeben sei das Skalarprodukt

,g : R2[x]×R2[x]Rp,qg=2p2q2+p1q1+p1q0+p0q1+2p0q0 \begin{aligned} \langle\cdot, \cdot\rangle_{g}: \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \times \mathbb{R}_{\leq 2}[x] \rightarrow \mathbb{R} \\ \langle p, q\rangle_{g}=2 p_{2} q_{2}+p_{1} q_{1}+p_{1} q_{0}+p_{0} q_{1}+2 p_{0} q_{0} \end{aligned}

für den Vektorraum R2[x] \mathbb{R}_{\leq 2}[x] sowie die Basis B={b1,b2,b3} \mathcal{B}=\left\{b_{1}, b_{2}, b_{3}\right\} des R2[x] \mathbb{R}_{\leq 2}[x] mit b1=12x2,b2=x1 b_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}} x^{2}, b_{2}=x-1 und b3=x b_{3}=x .

Zeigen Sie, dass B \mathcal{B} eine Orthonormalbasis bzgl. ,g \langle\cdot, \cdot\rangle_{g} des R2[x] \mathbb{R}_{\leq 2}[x] ist.

c) Berechnen Sie die Abbildungsvorschrift der Koordinatenabbildung KB K_{\mathcal{B}} mit Aufgabenteil b).

Avatar von


zu a) Wähle p(x)=x2+x0p(x)=x^2+x\neq0. Nach Definition ist p,pb=0\langle p,p\rangle_b=0, daher liegt kein Skalarprodukt vor.
ah sehr gut so hab ich das auch gemacht nur mit anderem Gegenbeispiel. vielen dank schon mal aber ich hab viel mehr Schwierigkeiten mit b und c weil ich Probleme mit dem gram-schmidt-verfahren habe es anders rum anzuwenden also zu zeigen das es eine orthonormalbasis ist anstatt sie zu berechnen.

schon mal danke für die Hilfe
Zu b) Offensichtlich ist B\cal B Basis. Zu zeigen ist, dassb1,b1g=b2,b2g=b3,b3g=1 sowie b1,b2g=b1,b3g=b2,b3g=0 gilt.\langle b_1,b_1\rangle_g=\langle b_2,b_2\rangle_g=\langle b_3,b_3\rangle_g=1\text{ sowie }\langle b_1,b_2\rangle_g=\langle b_1,b_3\rangle_g=\langle b_2,b_3\rangle_g=0\text{ gilt}.
hm ok kann mir das wer noch mal genauer Erklären? blick da immer noch nicht ganz durch danke

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage