Wann nutze ich welche Formel zu Schwerpunktsberechnung?

Question

Ich habe im Papula Formelsammlung zwei verschiedene Formel für die Berechnung des Schwerpunktes mit Hilfe des Integrals gefunden. Wann nutze ich welche?

$$\begin{array} { l } { x _ { s } = \frac { 1 } { A } \int _ { a } ^ { b } x \left( y _ { o } - y _ { u } \right) d x } \\ { y _ { s } = \frac { 1 } { 2 A } \int _ { a } ^ { b } \left( y _ { o } ^ { 2 } - y _ { u } ^ { 2 } \right) d x } \end{array}$$

oder die;

$$\begin{array} { l } { x _ { s } = \frac { 1 } { A } \int _ { x = a } ^ { b } \int _ { y = f u ( x ) } ^ { f o ( x ) } x \; dy \; dx } \\ { y _ { s } = \frac { 1 } { A } \int _ { x = a } ^ { b } \int _ { y = f u ( x ) } ^ { f o ( x ) } y \; dy \; dx } \end{array}$$

Wo ist da der Unterschied von der Anwendung her?

Bei beiden Formeln steht "Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche"

Answer 1

Die obere Formel gilt nur für rechteckige Flächen, die untere dagegen für allgemeine Flächen.

Comments

Steht aber im Papula nicht dabei, da ist sogar das selbe Bild zu abgedruckt.

---

Es ist aber richtig :-P

 

Das erkennst du daran, das in der oberen Formel ein y_o und ein y_u existieren. Für beliebig gekrümmte Flächen können diese Grenzen noch von x abhängen, dann erhält man aber gerade die untere Formel.

---

Ich hab mal noch ein Bild bei Wikipedia herausgesucht:

Wenn g(x) und h(x) konstante Funktionen sind, dann vereinfacht sich die untere Formel zur oberen, aber dann ist die Fläche auch ein Rechteck.

---

https://www.mathelounge.de/12952/integration-flache-zwischen-2-graph…

Ich sehe das etwas anders. Auch die Formel mit dem einfachen Integral, kann man für die Schwerpunktsberechnung nehmen. Die ist doch viel einfacher als die andere.

Die Formel findest Du auch unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt

yo und yu sind dabei 2 Funktionen die auch von x abhängig sein können. Also das gilt nicht nur für Rechtecke.

---

Wenn man die Grenzfunktionen in der zweiten Formel statt f_u,o y_u,o nennt, dann erhält man formal das gleiche, das ist richtig.

Aber ich denke schon, dass in der ersten Formel Konstanten gemeint sind. Wenn nicht, dann ist sie zumindest ungenau.