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Folgendes Urnenexperiment ist gegeben:

In einer Urne A befinden sich 4 rote und 2 grüne Kugeln. In einer Urne B befinden sich 3 grüne und 2 rote Kugeln. Es wird zunächst eine Urne zufällig gewählt und anschliefend aus dieser Urne ein- bzw. zweimal ohne Zurücklegen gezogen.

(a) Sie ziehen einmal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im ersten Versuch eine grüne Kugel zu ziehen?

(b) Sie ziehen zweimal. Wie gro \( B \) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine grüne und eine rote Kugel gezogen werden und beide aus derselben Urne stammen?

(c) Es wurden zuerst eine rote und dann eine grüne Kugel gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammen diese aus Urne B?


Meine Lösungen:

\( A: \frac{2}{6}=\frac{1}{3} \cong \overline{0,33} \)
B: \( \frac{3}{5} \cong 0,6 \)
Urne A \( 33 \% \) und Urne \( B 60 \% \). Zusammen etwa \( 46 \% \).
\( A: \)
\( P(r, g)=\frac{4}{6} * \frac{2}{5}=\frac{8}{30}=\frac{4}{15} \cong 0,26 \)
\( P(g, r)=\frac{2}{6} * \frac{4}{5}=\frac{8}{30}=\frac{4}{15} \cong 0,26 \)
\( P_{A}=\frac{11}{\frac{4}{15}} \approx 41,25 \% \)
B:
\( P(r, g)=\frac{3}{5} * \frac{2}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10} \cong 0,3 \)
\( P(g, r)=\frac{2}{5} * \frac{3}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10} \cong 0,3 \)
\( P_{B}=\frac{11}{\frac{3}{10}} \approx 3 \overline{6,66} \% \)

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a)  Sie ziehen einmal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im ersten Versuch eine grüne Kugel zu ziehen?

1/2 · 2/6 + 1/2 · 3/5 = 7/15 = 46.67%

b) Sie ziehen zweimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine grüne und eine rote Kugel gezogen werden.

1/2 · 2/6 · 4/5 · 2 + 1/2 · 3/5 · 2/4 · 2 = 17/30 = 56.67%

c) Es wurden zuerst eine rote und dann eine grüne Kugel gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammen diese aus Urne B?

(1/2 · 3/5 · 2/4 · 2) / (1/2 · 2/6 · 4/5 · 2 + 1/2 · 3/5 · 2/4 · 2) = 9/17 =52.94%

Avatar von 484 k 🚀

Die 46% kommen zwar nah am Ergebnis von 46,67% ran, aber der Rechenweg wurde von mir falsch berechnet. Man muss also bei b) die Wahrscheinlichkeiten addieren und bei c) den 2. Teil der Summe durch den gesamten Teil dividieren, um auf das Ergebnis von 52,94% zu kommen. Jetzt muss ich die Schritte nur noch auswendig lernen, damit ich in der Klausur nicht unnötig Punkte verschenke.

Das ganze ist übrigens die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit.

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