Einsetzmethode: Warum plötzlich 9x12?

Question

Aufgabe:

$D\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(-6 x_{1}-24\right) \cdot(-2)-(-4)^{2}=12 x_{1}+32>$ immer 0
$G_{x_{1} x_{1}}\left(x_{1}, x_{2}\right)=-6 x_{1}-24<_{\text {immer }} 0$
d.h. $(1,47 ; 12,06)$ glob. Max
d.h. das optimale Produktionsprogramm beträgt $1,47 \mathrm{ME}$ von Gut $\mathrm{A}$ und 12,06 ME von Gut B.
b) $K\left(x_{1}, x_{2}\right) \stackrel{!}{=}$ min unter NB $x_{1}+x_{2}=10 \Rightarrow x_{2}=10-x_{1}$
$K\left(x_{1}\right)=x_{1}^{3}+12 x_{1}^{2}+\left(10-x_{1}\right)^{2}+4 x_{1}\left(10-x_{1}\right)+10$
$K\left(x_{1}\right)=x_{1}^{3}+9 x_{1}^{2}+20 x_{1}+110$
$K^{\prime}\left(x_{1}\right)=3 x_{1}^{2}+18 x_{1}+20 \geq 0_{\text {immer }} \Rightarrow K\left(x_{1}\right)$ ist monoton steigend
d.h. das globale Min liegt am unteren Rand $x_{1}=0$ des Definitionsbereichs Daraus folgt: $x_{2}=10$
d.h. das optimale Produktionsprogramm beträgt $0 \mathrm{ME}$ von Gut $\mathrm{A}$ und $10 \mathrm{ME}$ von Gut $\mathrm{B}$.

Lösung zu Aufgabe 4
a) $K_{0}=4000+900\left(4+\frac{3}{2} \cdot 0,052\right) \cdot \frac{1,052^{2}-1}{0.052} \cdot \frac{1}{1.052^{2}}+\frac{3000}{1,052^{2}}=13515.87$

Ansatz/Problem:

Es geht um die Kostenfunktion. Ich verstehe warum man dort 10.x1 einsetzt usw ich verstehe aber den zweiten schritt nicht. Warum kommen da plötzlich 9x₁² raus? Und wieso 20x1 usw.

Answer 1

Ich schreib mal statt x1 nur x

K(x) = x³ + 12·x² + (10 - x)² + 4·x·(10 - x) + 10

Jetzt werden die Klammern ausmultipliziert

K(x) = x³ + 12·x² + (100 - 20·x + x²) + (40·x - 4·x²) + 10

Jetzt alles in eine schöne Reihenfolge bringen damit du erkennen kannst was zusammengefasst wird

K(x) = x³ + 12·x² + x² - 4·x² - 20·x + 40·x + 100 + 10

K(x) = x³ + 9·x² + 20·x + 110

Comments

Wo kommen die -20 hier her K(x) = x3 + 12·x2 + (100 - 20·x + x2) + (40·x - 4·x2) + 10

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Kennst du noch die binomischen Formeln. wenn nicht  nochmal ansehen.

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Ah ok danke dir =) ist alles echt lange her das vergisst man das ein oder andere bzw. sieht es nicht auf dem ersten blick.