Welche der folgenden Aussagen gelten? Exponentialfunktionen sind ...

Question

die Aufgabe lautet:

Welche der folgenden Aussagen gelten? Begründen Sie Ihre Entscheidungen.

(1) Exponentialfunktionen (f(x)=a^x) sind entweder monoton fallend oder wachsend.

(2) Potenzfunktionen verlaufen durch den Ursprung.

(3) Exponentialfunktionen verlaufen durch den Ursprung.

(4) Jede Potenzfunktion ist eine quadratische Funktion.

(5) Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten haben immer einen
punktsymmetrischen Graphen.

(6) Wurzelfunktionen sind keine Potenzfunktionen.

 

soll ich zu jeder aussage ein Gegenbeispiel suchen und anhand diesem begründen oder wie mache ich das?

Comments

Dies ist nochmals ein Kommentar auf die Duplikatfrage.

(1) Exponentialfunktionen (f(x)=a^x) sind entweder monoton fallend oder wachsend.

2 der Beantworter  verstehen die Frage so :

fallend : Steigung < 0
steigend : Steigung > 0

Demnach wäre das Gegenbeispiel f ( x ) = 1^x = 1
Die Steigung wäre f ´( x ) = 0.
Also weder steigend noch fallend.
Es ergibt sich die Verneinung der Fragestellung.

1 Beantworter hält die Funktion f ( x ) = 1^x für sowohl
monoton steigend als auch monoton fallend.

Es fällt mir jetzt auf das wenn die Fragestellung
" entweder monoton fallend oder wachsend. " ist,
auch diese Beantwortung eine Verneinung der
Fragestellung ist.

mfg Georg

 

Answer 1

Meine Vorschläge zur Beantwortung der Fragen.

(1) kommt auf das a drauf an, für a = 0 und a = 1 liegt keine Monotonie vor.

(2) ja, falls der Exponent nicht negativ ist und von der Grundform y = a*xⁿ ausgegangen wird.

(3) nein, falls von der Grundform f(x) = a*e^x ausgegangen wird.

(4) Jede bestimmt nicht., denn y= x³ ist zwar eine Potenzfunktion, aber beileibe nicht quadratisch.

(5) ja.

(6) Wurzelfunktionen sind die Umkehrung der Potenzfunktionen.

Antworten ohne Gewähr :)

Answer 2

( 1 )  f ( x ) = 1^x  | weder fallend noch steigend
( 2 )  f ( x ) =  x^2 + 2  | verläuft durch ( 0 | 2 )
( 3 )  f ( x ) = 2^x   | verläuft durch ( 0 | 1 )
( 4 )  f ( x ) = x^3  | keine quadratische Funktion
( 5 )  f ( x ) = x^n
Achsensymmetrie
f ( x ) = f ( -x )
x^n = x^{-n}  | gilt für gerade n
Punktsymmetrie
f ( x ) = - f ( -x )
x^n = - ( x^{-n} ) | gilt für ungerade n
( 6 )  Bei Wurzelfunktionen muß das Argument in der Wurzel
stets positiv sein im Gegensatz zur Potenzfunktion.
Beispiel für x
Def Bereich der Potenzfunktion x^2 [ -∞ ; ∞ ]
Def Bereich der Wurzelfunktion √ x [ 0 ; ∞ ]

Korrektur
Wurzelfunktionen sind Potenzfunktionen mit
rationalem Exponenten.

Bei Fragen wieder melden.

mfg Georg

Answer 3

Welche der folgenden Aussagen gelten? Begründen Sie ihre Entscheidungen.

(1) Exponentialfunktionen (f(x) = a^x sind entweder monoton fallend oder wachsend.

für a >= 0 ist erfüllt
f'(x) = a^x * ln(a) für a < 1 negativ für a = 1 null und für a > 1 positiv

(2) Potenzfunktionen verlaufen durch den Ursprung.

f(x) = x^n 
f(0) = 0 ist erfüllt

(3) Exponentialfunktionen verlaufen durch den Ursprung.

f(x) = e^x
f(0) = 1 ist nicht erfüllt

(4) Jede Potenzfunktion ist eine quadratische Funktion.

f(x) = x^3 ist keine quadratische Funktion

(5) Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten haben immer einen punktsymmetrischen Graphen.

f(x) = x^{2n + 1}
f(-x) = -f(x) ist erfüllt

(6) Wurzelfunktionen sind keine Potenzfunktionen.

f(x) = √x = x^{1/2} ist auch eine Potenzfunktion ebenso alle anderen Wurzeln.

Comments

@mathecoach
1.) f'(x) = a^x * ln(a) ... für a = 1 null
Wenn die Steigung 0 ist  dürfte die Funktion weder
steigend noch fallend sein.
mfg Georg

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richtig sie ist konstant. eine monoton steigende Funktion beinhaltet aber auch konstante Werte. Sie ist dann nur nicht streng monoton steigend.

Eventuell nochmal nachlesen unter https://de.wikipedia.org/wiki/Monotonie_(Mathematik)

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Streng monoton x2 > x1
monton x2 ≥  x1
Soweit klar.
Wir kommen wieder in das altbekannte Dilemma
( das dich auch schon verwirrte )
f ( x ) = 3
Nach neuerer Defintion ist die Funktion
sowohl monoton steigend als auch monoton fallend.
Nach alter Definition weder / noch.
( mir gefällt weder / noch besser ).
Verschieben wir das Ganze in die philosophische Ecke.
mfg Georg

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Was heißt hier neue und alte Definition. Die Definition war eigentlich schon immer so.

Das kommt weil die Definition der Monotonie aus einer Zeit kam als es noch keine Funktionen gab sondern nur Folgen von Zahlen. 

Und die Zahlenfolge 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6 ist nun mal steigend allerdings nicht immer sondern bleibt auch konstant weswegen sie nur monoton steigend und nicht streng monoton steigend ist.

Folglich kann auch eine konstante Folge

3, 3, 3, 3, 3, 3, ...

mononton steigend bzw. monoton fallend sein, weil solange sie nicht streng ist auch sich nicht ändernde Werte enthalten kann.