Polynom 7 Grades - Nullstellen finden bei f(x) = x^7 - 2·x^6 - 4·x^5 + 10·x^4 + x^3 - 12·x^2 + 6·x

Question

f(x) = x⁷ - 2·x⁶ - 4·x⁵ + 10·x⁴ + x³ - 12·x² + 6·x

mit diesen Hilfsmitteln

V - Vieta
A - Ausklammern
M - Mitternachtsformel (pq-Formel)
P - Polynomdivision (Horner Schema)
S - Substitution

bitte schritt für schritt

Comments

Was soll das denn lösen?

Möchtest du Nullstellen ausrechnen?

---

ja die nullstellen

---

Eine Nullstelle kann man leicht  erraten, dann Polynomdivision .)

Ich probiere grad, ob man durch geschicktes ausklammern was erreichen kann..

---

ich habs gestern versucht, bin aber nur auf eine nullstelle gekommen: x₁=0

---

Ja die stimmt soweit, aber wieviele Nullstellen können insgesamt maximal vorkommen bei einem Polynom 7. Grades?

---

da könne maximal 7 nullstellen rauskommen :)

---

mit x = 1 dürfte es weitergehen.

---

genau, 7 .)

x = 1 meinte ich eingangs und nun Polynomdivision.

---

ja die polynomdivision kann ich nicht soooooooo gut da verliere ich den überblick und was bringt das mir, wenn der exponent ein grad ernidrigt wird?

---

Das bringt dir die Gewissheit, ob noch weitere Nullstellen existieren oder nicht ?

---

kannst dus mir bitte komplett vorrechnen? :(

---

Habe es mal kurz und auf die Schnelle durchgerechnet. Also es gibt wohl offenbar noch weitere Nullstellen .-)

Answer 1

Ich mache dir das mal auf die Schnelle vor. 

Wichtig für dich das Verfahren der Polynomdivison bzw. das Horner Schema solltest du dir aneignen.

Ebenso die anderen Verfahren soweit nicht bekannt.

Comments

Bitte jetzt die folgende Aufgabe eigenständig Probieren

f(x) = x^7 - x^6 - 11·x^5 + 5·x^4 + 36·x^3 - 6·x^2 - 36·x = 0

Lösungen können und sollten mit Wolframalpha kontrolliert werden.

Answer 2

Erste Nullstellen durch Raten x1 = 0

Zweite Nullstellen auch durch Raten x2 = 1

3. Durch Polynomdivision und der 2. Nullstellen erhalten wir ein reduziertes Polynom:

f(x) = x⁵ - x⁴ - 5x³ + 5x² + 6x - 6

Das kann man umschreiben zu f(x) = x⁴*(x - 1) - 5x²*(x - 1) + 6*(x - 1) = (x - 1)*(x⁴ - 5x² + 6)

daraus folgt für die Nullstellen (x - 1) = 0 oder (x⁴ - 5x² + 6) = 0

Substitution t = x² liefert zum Berechnen von weiteren Nullstellen für den Ausdruck (x⁴ - 5x² + 6) = 0:  t² - 5t + 6 = 0

Das mit pq-Formel ausrechnen und rücksubstituieren.

Comments

Die erste Nullstelle fällt unter A wie Ausklammern^^.

Answer 3

Wo hast du das her? Bist du ein Troll? Ich meine; welche Techniken setzt Wolfram ein, um derartige Polynome zu faktorisieren? Mir jeden falls hat das noch niemand erklärt.

Woher rührt dein Interesse?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^7-2x^6-4x^5%2B10x^4%2Bx%C2%B3-12x%C2%B2%2B6x

Ach übrigens; mal ganz unabhängig von meinen voll genitalen Strartegien - meine Antworten sprechen ja für sich. Stets schaue ich jedes Polynom immer erst bei Lycos nach; ich sage es nur nicht jedesmal dazu.

Answer 4

Dass man ein x ausklammern kann, sieht man sofort:

x7=0 weiter mit Gleichung 6. Grades:

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php