Differentialgleichung 1. Ordnung mit einem Bruch lösen: y ' + y/(1+x) + x2 = 0

Question

Aufgabe:

Differentialgleichung 1. Ordnung mit einem Bruch lösen:

$y^{\prime}+\frac{y}{1+x}+x^{2}=0$

Ich weiss nicht wie ich da anfangen soll.

Comments

Kleiner Tipp. Solche Differenzialgleichungen kannst Du dir schrittweise mit Wolframalpha lösen lassen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y'+%2B+y%2F(1%2Bx)+%2B+x^2+%3D…

Probier das einfach mal aus.

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Der löst das aber komisch auf! Kann da nichts mit anfangen

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Dort wird einigermassen zu Beginn mit dem Nenner (x+1) multipliziert und

danach wird benutzt, dass f ' * g + f * g '  = (f*g)'

f' ist das y' und g' ist zufällig 1.

Darum klappt die Lösung mit einer Intergration. Wo genau hast du Schwierigkeiten mit der vorgeschlagenen Lösung?

Ist im Prinzip dasselbe wie bei https://www.mathelounge.de/13294/bestimme-die-losung-der-differentia…

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Solve (f´(x)+f(x)/(1+x))=-x^2


Das kann man bei WolframAlpha eingeben und erhält -->

f(x)=c1/(x+1)-x^4/(x+1)/4-x^3/(x+1)/3


c1 ist eine Konstante, die einer sogenannten Anfangswertbedinngug abhängt.


f(x) steht für y und f´(x) steht für y´

Answer 1

 

analog zum angegebenen Beispiel im Kommentar zur Frage:

y' + y/(x+1) = -x²                      |*(x+1)

(x+1)*y' + 1*y = -x² (x+1) = -x³ - x²                 |

Subst. u = (x+1), u' = 1

wegen  u * y' + u'*y = (u*y)'

(x+1)*y' + 1*y = -x³ - x²

((x+1) * y) ' = -x³ - x²          |integrieren links und rechts

(x+1)* y = ∫ -x³ - x² dx                |rechts: partiell integrieren

(x+1) * y = -0.25 x⁴ - 1/3 x³ + C          |:(x+1)

y =  (-0.25 x⁴ - 1/3 x³ + C ) / (x+1) 

Comments

ich versteh den Schritt ""(wegen u *y´ + u´ * y ) "" so kenne ich das nicht und auch nicht das man nur auf einer Seite (rechts: partiell integrieren) integriert, kann man das nicht auch anders machen?