Hallo.
Ich schaue mir gerade alte Klausuraufgaben zu Analysis II an. Eine lautet:
Auf dem Intervall (-1,1) gilt
n=0∑∞(−1)nx2n=1+x21,x∈(−1,1).
Berechnen Sie einen geschlossenen Ausdruck für
n=0∑∞(−1)nnx2n.
Das Beispiel kann ich nachvollziehen:
n=0∑∞(−1)nx2n=n=0∑∞(−x2)n=1−(−x2)1=1+x21, das ist ja die geometrische Reihe, wie sie im Buche steht.
Für die Aufgabe habe ich folgendermaßen angefangen:
n=0∑∞(−1)nnx2n=n=0∑∞(−x)2nn=n=0∑∞(−x2)n⋅n
Nun wusste ich nicht, was ich mit dem Faktor n anstellen sollte. Schließlich habe ich meinen guten Freund Wolfram gefragt, der lieferte das Ergebnis
(x2+1)2x2 also
(1−(−x2))2x2, woraus ich schließe, dass der Faktor n in der Summe einen Faktor
x2 im geschlossenen Ausdruck bewirkt.
Nun zwei Fragen:
1. Sind meine Berechnungen richtig und nachvollziehbar?
2. Hätte ich mir das mit dem Faktor n bzw.
x2 irgendwie (schnell) daraus herleiten können, oder ist das etwas, was man sich einfach merken sollte?
und danke schon einmal
Lena