Zeigen Sie, dass die Äquivalenzklasse gegeben ist durch [x]=f^-1({f(x)})...

Question

Gegeben seien die Mengen X,Y sowie eine Abbildung f: X => Y. Wir definieren X die Relation ~ durch x~y <=> f(x) = f(y).

a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.

b) Zeigen Sie, dass für jedes x € X die zugehörige Aquivalenzklasse [x] gegeben ist durch [x] = f^-1({f(x)}). Hierbei ist f^-1 das Urbild.

c) Sei zusätzlich f injektiv. Zeigen Sie, dass dann für alle x € X gilt: [x] = {x}.

 

a) konnte ich ohne Probleme lösen.

Zu b): Reicht es da zu schreiben: Da alle Elemente, die in einer Äquivalenzklasse sind, wieder auf dasselbe Bild abgebildet werden, ist das Urbild hiervon die Äquivalnezklasse.

Zu c): Reicht es da zu schreiben: Wenn f injektiv ist, wird jedes y € Y höchstens einmal getroffen werden, d.h. wenn x1=x2. Also gibt es nur Paare derart (x,x) => [x] = {x}

Ansonsten weiß ich nicht, wie ich das beweisen soll. Wäre für jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Zu b): Reicht es da zu schreiben: Da alle Elemente, die in einer Äquivalenzklasse sind, wieder auf dasselbe Bild abgebildet werden, ist das Urbild hiervon die Äquivalnezklasse.

 

Was du hier schreibst sollte genügen: Es ist ja in Worten etwa:

Seien a,b Element [x] = f^-1({f(x)}). Dann gilt f(a) = f(b) = f(x). a und b sind äquivalent nach Definition.

ist a nicht Element [x] und b Element [x]. So ist f(b)=f(x) ≠ f{a). also nicht sind a und b nicht äquivalent.

reflexiv, symmetrisch und transitiv hast du ja in a) gezeigt. D.h. du musst ja nicht mehr zeigen, dass es überhaupt Äquivalenzklassen gibt.

 

Zu c): Reicht es da zu schreiben: Wenn f injektiv ist, wird jedes y € Y höchstens einmal getroffen werden, d.h. wenn x1=x2. Also gibt es nur Paare derart (x,x) => [x] = {x}

Das kannst du auch indirekt sagen: Annahme es gibt eine Klasse mit mehr als einem Element. So gibt es sicher eine mit 2 versch. Elementen x und y. Nun gilt f(x)= f(y) gemäss Definition. Da aber f injektiv ist, folgt aus f(x) =  f(y), dass x=y. Widerspruch! Somit sind die Äquivalenzklassen einelementig.

Also immer [x] = {x}.

Comments

Danke, da wäre ich so nie drauf gekommen

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Bitte. Ohne Gewähr. Ich weiss nicht, wie das bei euch genau auszusehen hat.