Hi Georg,
Folgender Vorschlag x/2 = u sollte es funktionieren ;).
Und dann direkt u = 1/cos(s).
Sieht so aus:
$$\int \sqrt{x^2-4} \;dx$$
$$2\int \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2-1} \;dx$$
Nun die Substitution von oben nehmen: x/2 = u -> 1/2 dx = du
$$4\int \sqrt{u^2-1} \;du$$
Nun die zweite Subst. mit u = 1/cos(s) woraus folgt du = tan(s)/cos(s) ds
$$4\int \tan^2(s)/\cos(s) \;ds$$
Denn \(\sqrt{\left(\frac{1}{\cos(s)}\right)^2-1} = \tan(s)\)
Mit den Additionstheoremen umgeschrieben:
$$4\int \frac{1}{\cos(s)^3}-\frac{1}{\cos(s)} ds$$
Der Rest sollte nicht mehr ganz so schwierig sein und ist mehr Schreibarbeit. Obiges eventuell doch nachschlagen, da es sonst noch eine Weile geht^^.
Wie aber schon im Kommentar erwähnt, ist das ursprüngliche Integral ohnehin im Bronstein nachzulesen.
P.S.: So wie das aussieht ist das fehlerfrei *freu*. Wolfram beendet meine Rechnung mit dem gewünschten Ergebnis: https://www.mathelounge.de/141518/stammfunktion-%E2%88%AB-%E2%88%9A-9%C2%B7x2-6%C2%B7x-3-dx
(Vergleiche mit Mathecoach)
Grüße
