0 Daumen
174 Aufrufe


Ich habe folgende Gleichung gegeben: c ist Konstante:


$$ \frac { 2x^{ 3 }-10xc^{ 2 } }{ x^{ 4 }-10x^{ 2 }c^{ 2 }+9c^{ 4 } }  $$

und soll nun diese Gleichung in Partialbrüche zerlegen und eine Stammfunktion finden, leider komme ich hiermit nicht wirklich zurecht.


Danke für kommende Antworten !

von

9c^4 = (-1c^2)*(-9c^2)

und (-1c^2) + (-9c^2) = -10c^2

Damit kannst du den Nenner nach Vieta faktorisieren.

2 Antworten

0 Daumen
Der Nenner sieht zerlegt so aus:

(x+3c)(x-3c)(x+c)(x-c)
von
0 Daumen

Deine    Funktion ist  Punkt symmetrisch.  Was nun die Aussage von Gast über den Satz von Vieta anlangt, so werde ich hier meine systematische Theorie der Wurzelwurzeln  ( W W ) vorlegen.  Bei einer biquadratischen Gleichung  (  BQG  )  gibt es nämlich im Gegensatz zur gewöhnlichen QG  die Möglichkeit, eine Mitternachtsformel  ( MF )  direkt aus dem Satz von Vieta abzuleiten.  Die Gleichung habe die Form


x  ^ 4  -  p  x  ²  +  u  ²  =  0   (  1  )


Dann tut ihr doch immer diese z-Substitution anwenden


z  :=  x  ²     (  2a  )

z ²  -  p  z  +  u  ²  =  0   (  2b  )


Dann lautet doch der Vieta von ( 2b )



p  =  z1  +  z2  =  x1  ²  +  x2  ²         ( 3a )



wobei die Substitution  in ( 3a )  genau wieder zurück genommen wurde.  Und für u findest du


u  ²  =  z1  z2  ===>  u  =  x1  x2     ( 3b )


Nun ist aber  ( 3b )  die quadratische Ergänzung von ( 3a )  ; siehst du das?  D.h.  ich quadriere z nicht wie bei der herkömmlichen MF , sondern ich ziehe aus z , der " Wurzel "  , die W W .


(  x2  +/-  x1  )  ²  =  p  +/-  2 u     ( 4a )


(  4a  )  bilden ein LGS zur Bestimmung   der Unbekannten x1;2  ,  die versprochene neue MF .  Erwähnt sei ferner, dass ich mich um eine Kategorienlehre der BQF  bemüht habe;  wir haben hier Kategorie  p > 0 ; q > 0  -  auf Grund der cartesischen Vorzeichenregel notwendige Bedingung für zwei reelle Wurzelpärchen.

W W bilden ein Kapitel der Galoistheorie ; hier für Interessenten mein Link zu dem Thema bei der Konkurrenz Cosmiq, warum ich meine, dass man so etwas machen soll.  Hier meine Antwort als User " Misterknister "



http://www.cosmiq.de/qa/show/3368651/Wie-vereinfacht-man-folgenden-Ausdruck-2-sqrt-3-2-sqrt-2-2-sqrt-2/


In deinem Falle ist p =  10 c ²  und u = 3 c ²


(  x2  +  x1  )  ²  =  p  +  2 u  =  16  c  ²  ===>  x2  +  x1  =  4  c      (  4b  )

(  x2  -  x1  )  ²  =  p  -  2 u  =  4  c  ²  ===>  x2  -  x1  =  2  c      (  4c  )

x2 =  aritm.  Mittelwert   =  3  c    (  4d  )

x1  =  halbe  Differenz  =  c    ( 4e )



Gefordert, die Zerlegung von



     f  (  x  )  =   (  x ³  - 5  c  ²  x  )  /  (  x  -  c  )  (  x  +  c  )  (  x  -  3  c  )  (  x  +  3  c  )    =   (  5a  )
 
                   =  A1  /  (  x  -  c  )   +  A2  /  (  x  +  c  )   +  B1  /  (  x  -  3  c  )   +  B2  /  (  x  +  3  c  )    (  5b  )
  


    Keiner kennt es; setzt sich einfach nicht durch; die  Rothstein-Trager-Integration.



https://www.mathelounge.de/241144/hilfe-bei-partialbruchzerlegung



      Ich kann unmöglich  alles zwei Mal sagen; die Entwicklungskoeffizienten selbst ergeben sich aus Integralen. Hier die 4 Integralkerne



                G  (  x  ;  c  )   =   (  x ³   -  5  c  ²   x  )  /  (  x  ²  -  9  c  ²  )  (  x  +  c  )      (  6a  )
  
     A1  =   G  (  c  ;  c  )  =  (  c  ³  -  5  c  ³  )  /  (  c  ²  -  9  c  ²  )  (  c  +  c  )  =  1/4    (  6b  )

               G  (  x  ;  3  c  )   =   (  x ³   -  5  c  ²   x  )  /  (  x  ²  -   c  ²  )  (  x  +  3 c  )      (  6c  )
  
     B1  =   G  (  3  c  ;  3  c  )  =  (  3  ³  c  ³  -  3 * 5  c  ³  )  /  (  3  ²  c  ²  -   c  ²  )  (  3  c  + 3  c  )  =  1/4   (  6d  )



     Im Übrigen sind  B1  =  A1  und  B2  =  A2  -  warum?   Beschränken wir uns auf zwei Pole; der Beweis ließe sich für beliebig viele Pärchen führen.



      f  (  x  )  :=  A1  /  (  x  -  x0  )  +  A2  /  (  x  +  x0 )                 (  7a  )

      f  (  -  x  )  =  A1  /  (  -  x  -  x0  )  +  A2  /  (  -  x  +  x0 )      (  7b  )

                       =  -  A1  /  (  x  +  x0  )  -  A2  /  (  x  -  x0  )       (  7c  )


      Andererseits hatten wir aber  in  (  7a  )  ungerade  Symmetrie voraus gesetzt:



      f  (  - x  )  =  -  f  (  x  )  =   -  A1  /  (  x  -  x0  )  -  A2  /  (  x  +  x0 )                 (  8  )


   Da die TZ  eindeutig ist, ist in  (  7c;8  )  Koeffizientenvergleich zugelassen;  wzbw



    f  (  x  )  =  1/4   [  1  /  (  x + c ) + 1 / ( x - c )  +  1  /  (  x + 3c ) + 1 / ( x - 3c )  ]    ( 9 )
von 1,3 k

Hier da "  tippt mer sisch an de Kopp; alle Koeffizienten sind gleich, weil im Zähler die Ableitung des Nenners steht  ===> Stammfunktion ist der Logaritmus des Nenners.


Hurra !!!


http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F4+++[++1++%2F++%28++x+%2B+c+%29+%2B+1+%2F+%28+x+-+c+%29++%2B++1++%2F++%28++x+%2B+3c+%29+%2B+1+%2F+%28+x+-+3c+%29++]+


2x310xc22x310xc2

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community