Stammfunktion von Wurzel ( x2 - 4 ) gesucht

Question

Gesucht ist die Herleitung der Stammfunktion von
√ ( x² - 4 )
mfg Georg

Comments

Hi Georg,

habe es zwar nicht probiert (gleich wieder weg), aber sieht für mich aus, als könnte man 4 ausklammern und dann aus der Wurzel holen, sowie die Substitution sin(u) = x/2 wählen.

Ohne Gewähr.

Das ist ohnehin eher ein Integral, welches man beispielsweise im Bronstein nachschlägt, wie ich denke ;).

Grüße

---

Suche die Substitution vielleicht bei den hyperbolischen Funktionen, falls du noch nicht draufgekommen bist.

---

Das Resultat hier https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+√+%28+x%5E2+-+4+%29+

sieht nach partieller Integration aus.

Faktor 1 ergänzt und partiell integriert.

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_irrational_functi…  Ausschnitt:

Answer 1

Hi Georg,

Folgender Vorschlag x/2 = u sollte es funktionieren ;).

Und dann direkt u = 1/cos(s).

Sieht so aus:

$$\int \sqrt{x^2-4} \;dx$$

$$2\int \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2-1} \;dx$$

Nun die Substitution von oben nehmen: x/2 = u -> 1/2 dx =  du

$$4\int \sqrt{u^2-1} \;du$$

Nun die zweite Subst. mit u = 1/cos(s) woraus folgt du = tan(s)/cos(s) ds

$$4\int \tan^2(s)/\cos(s) \;ds$$

Denn $\sqrt{\left(\frac{1}{\cos(s)}\right)^2-1} = \tan(s)$

Mit den Additionstheoremen umgeschrieben:

$$4\int \frac{1}{\cos(s)^3}-\frac{1}{\cos(s)} ds$$

Der Rest sollte nicht mehr ganz so schwierig sein und ist mehr Schreibarbeit. Obiges eventuell doch nachschlagen, da es sonst noch eine Weile geht^^.

Wie aber schon im Kommentar erwähnt, ist das ursprüngliche Integral ohnehin im Bronstein nachzulesen.

P.S.: So wie das aussieht ist das fehlerfrei *freu*. Wolfram beendet meine Rechnung mit dem gewünschten Ergebnis: https://www.mathelounge.de/141518/stammfunktion-%E2%88%AB-%E2%88%9A-…

(Vergleiche mit Mathecoach)

Grüße

Comments

Hallo

Falls es noch interessiert:

x= 2 cos h t führt auch zum Ziel.

:-)

---

@unknown
Vielen Dank für deine Bemühungen.
Die Stammfunktion ist  ( mit 2 Matheprogrammen ermittelt )
1/2 * √ ( x² - 4 ) - 2 * ln ( √ ( x² - 4 ) + x )
Wenn ich deine Lösung mit einem Matheprogramm
integriere und wieder rücksubstituiere bekomme
ich einen ( Riesen- ) Term mit 3 x ln, 1 x sin , 2 x cos,
1 x tan, 1 x π.
Ich sehe im Moment noch keinen Zusammenhang mit
obiger Lösung.
mfg Georg

---

Hmm?

Gehen wir davon aus die Stammfunktion sei gegeben von meinem letzten Term.

$$\to 2\frac{\tan(s)}{\cos(s)} - 2\ln\left(\tan(s)+\frac{1}{\cos(s)}\right)$$

Nun resubstituieren: u = 1\cos(s)

$$2u\sqrt{u^2-1} - 2\ln\left(\sqrt{u^2-1}+u\right)$$

Dazu um Hinterkopf behalten, dass $\tan^2(s) = \frac{1}{\cos^2(s)}-1$ ist.

Das verrechne nun noch:

$$\frac12x\sqrt{x^2-4} - 2\ln\left(\sqrt{x^2-4}+x\right)$$

Dafür halt teilweise wieder die 4 in die Wurzel ziehen.

Sollte so passen, wenn ich mich nicht vertan habe? Bei Deiner Lösung fehlt im ersten Summanden allerdings ein x. Ich hoffe das ist ein Abschreibfehler, da sonst meine Lösung hinfällig ist :P.

---

Fehler bei mir : es muß heißen anstelle
1/2 * √ ( x² - 4 ) - 2 * ln ( √ ( x² - 4 ) + x )
1/2 * x * √ ( x² - 4 ) - 2 * ln ( √ ( x² - 4 ) + x )
mfg Georg

---

Dann passt es ja nun?! ;)