Zerfallsaufgabe! Heisses Wasser in Umgebungstemperatur von 18°C

Question

Aufgaben:

19.) Heißes Wasser hat sich in einem Raum mit der Umgebungstemperatur \( T_{u}=18^{\circ} \mathrm{C} \) innerhalb von 3 Minuten von der Siedetemperatur \( T_{0}=100^{\circ} \mathrm{C} \) auf \( 60^{\circ} \mathrm{C} \) abgekühlt. Berechnen Sie, wann das Wasser nur mehr \( 2^{\circ} \mathrm{C} \) wärmer ist als die Umgebung, wenn für die Abkühlung eines Körpers folgendes Gesetz gilt:

\( T(t)=T_{u}+\left(T_{0}-T_{u}\right) \cdot e^{-k . t} \)

20.) Bei Entladung eines Kondensators mit der Kapazität C über einen Widerstand R mit der Anfangsspannung \( U_{0} \) ist die Spannung in jedem Zeitpunkt t durch \( U(t)=U_{0}, e^{-t(\text { (R.C) }} \) gegeben.
Berechnen Sie \( C \) und \( U_{0} \) für \( R=10 \Omega, U(1)=44,4 \mathrm{~V} \) und \( U(2)=6 \mathrm{~V} \). In welcher Zeit ist die Spannung auf \( 1 \mathrm{~V} \) gesunken?

Die Lösungen habe ich ebenfalls:

19.) \( 16 \min 38 \mathrm{sec} \)

20.) \( \mathrm{C}=0,05 \mathrm{~F}, \mathrm{U}_{\mathrm{o}}=328,56 \mathrm{~V}, \mathrm{t}=2,8952 \mathrm{~s} \)

Answer 1

T ( t ) = Tu + ( To - Tu ) * e^{-k*t}

Tu = 18 °
t = 3 min
To = 100 °
T ( 3 ) = 60 

Ermittlung von k

60 = 18 + ( 100 - 18 ) *e^{-k*3}
( 82 ) *e^{-k*3} = 42
e^{-k*3} = 42 / 82  | ln ( )
-k*3 = ln ( 42 / 82 ) = -0.669
-k = -0.669 /3
k = 0.223

t  für 18 + 2 = 20 °
20 = 18 + ( 100 - 18 ) * e^{-0.223*t}
e^{-0.223*t} = ( 20 - 18 / ( 100 - 18 ) = 0.02439
-0.223*t = ln ( 0.02439 ) = -3.71357
t = 16,65 min
t = 16 min 38 sec

Probe
20 = 18 + ( 100 - 18 ) * e^{-0.223*16.65}
20 = 18 + 2

2.)
U ( t ) = Uo * e^{-t/[R*C]}

R = 10 Ohm
U ( 1 ) = 44.4 V
U ( 2 ) = 6 V

Ergebnisse
C = 0.05 F
Uo = 328,56 V
t = 2.8952 s für 1 Volt

U ( 1 ) = 44.4 = Uo * e^{-1[10*C]}
U ( 2 ) = 6 = Uo * e^{-2[10*C]}      | beide Gleichungen dividieren, Uo entfällt
-----------------------------------------
44.4 / 6 = e^{-1[10*C]} /  e^{-2[10*C]}

7.4 = e^{-1[10*C]-(-2[10*C])}
7.4 = e^{-1[10*C]+2[10*C]}
7.4 = e^{1[10*C]}  | ln ()
ln (7.4 )=  1/(10*C)
10 * C = 1 / ln (7.4 )
C = 0.05 F

U ( 1 ) = 44.4 = Uo * e^{-1[10*0.05]}
44.4 = Uo * 0.1353
Uo = 328 V

U ( t ) = Uo * e^{-t/[R*C]}
1 = 328.56 * e^{-t/[10*0.05]}
1 / 328.56 = 0.0030436 =  e^{-t/[10*0.05]}  | ln ( )
-5.7947 = -t / 0.5
-t = -2.897
t = 2.897

mfg Georg

Comments

Georg ich möchte dich mal wirklich loben!!! Du rechnest solche Aufgaben wirklich Schritt für Schritt vor und erklärst auch noch, was ich SEHR TOLL finde!!! Deshalb mal ein Pluspunkt von mir :-)

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Ich möchte mich auch noch mal recht herzlich bei Georg bedanken ;)

Der Rechenweg hat mir ziemlich geholfen. Sorry das ich mich jetzt erst melde, hatte viel zu tun.

Lg und noch einen schönen Tag :)