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Es ist die Kurvenschar  fa(x)=10x*e^(-1/2 ax) gegeben. Bilden sie die ersten 3 Ableitungen und berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Achsen.
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Kann man annehmen, dass im Exponenten nur 2 unter dem Bruchstrich steht? Ich habe zur Verdeutlichung einen Leerschlag ergänzt.

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fa(x)=10x*e-1/2 ax

Schnittpunkte mit den Achsen.

x-Achse:

fa(x) = 0. Einer der Faktoren muss 0 sein. x1=0. x2 existiert nicht, da e^z nie 0 ist.

fa(0) = 0 P(0|0) ist gerade auch der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Ableitungen. Mehrfach Produktregel anwenden.

fa(x)=10x*e-1/2 ax

fa'(x)=10*e-1/2 ax+ 10x*(-1/2 a) e-1/2 ax

fa'(x)=10*e-1/2 ax - 5a x* e-1/2 ax

fa''(x)= -5a*e-1/2 ax - (5a* e-1/2 ax + 5a x* (-1/2 a) e-1/2 ax)

fa''(x)= -5a*e-1/2 ax - (5a* e-1/2 ax - 2.5a^2 x* e-1/2 ax)

 

fa''(x)= -10a*e-1/2 ax  + 2.5a^2 x* e-1/2 ax

fa'''(x)= 5a^2 *e-1/2 ax  + 2.5a^2 * e-1/2 ax - 1.25a^3 x* e-1/2 ax

fa'''(x)= 7.5a^2 *e-1/2 ax  - 1.25a^3 x* e-1/2 ax

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Wenn wir mal annehmen, das die Funktion wie folgt geschrieben werden kann

f(x) = 10·x·e^(- a/2·x)

Dann würde man hier die Produktregel und Kettenregel anwenden:

u(x) = 10·x
u'(x) = 10

v(x) = e^(- a/2·x)
v'(x) = -a/2·e^(- a·x/2)

f '(x) = 10·e^(- a/2·x) + 10·x·(-a/2·e^(- a·x/2)) = e^(- a·x/2)·(10 - 5·a·x)

Genau so machen wir jetzt auch noch weitere Ableitungen

f ''(x) = e^(- a·x/2)·(2.5·a^2·x - 10·a)

f '''(x) = e^(- a·x/2)·(7.5·a^2 - 1.25·a^3·x)
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Hier habe ich die Funktion für ein paar Werte von a im Bereich von 1 bis 10 gezeichnet.

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