Wahrscheinlichkeit: Ein Laplace-Würfel wird 100 mal geworfen

Question

Aufgaben:

Ein Laplace-Würfel wird 100 mal geworfen:

a) A= höchstens 10 mal eine 6

b) B= mindestens 20 mal eine zahl grösser als 2

c) C= genau 55 mal eine gerade ziffer

d) D=mehr als 45 mal eine gerade ziffer

Die Lösungen hab ich auch, jedoch wäre es super, wenn ihr mir alle einzelnen schritte erklärt.

Lösungen:

a) 4,271 %

b) 100 %

c) 4,8 %

d) 81,59 %

Comments

Du kannst die WKTen für a,b ,d  mit einem Tabellenwerk ermitteln.

a) P(X<=10) , p = 1/6

b) 1- P(X<=19) , p = 4/6 = 2/3

c) P(X=55), p = 1/2

(100 über 55)*0,5^55*0,5^45 = 0,048 = 4,8 %

d) 1-P(X<=44) , p = 0,5

Wenn du wissen willst wie diese Berechnungen zu stande kommen schau dir was zum Thema "Binomialverteilung' an. Das hier an diesem Beispiel zu erklären ist ziemlich aufwendig.

Answer 1

a) ist denke ich falsch gerundet.

a) A = höchstens 10 mal eine 6

P(Augenzahl 6) = 1/6

Σ (k = 0 bis 10) COMB(100, k)·(1/6)^k·(5/6)^{100 - k} = 0.04269568414 = 4.27%

b) B = mindestens 20 mal eine Zahl grösser als 2

P(Augenzahl > 2) = 4/6 = 2/3

Σ (k = 20 bis 100) COMB(100, k)·(2/3)^k·(1/3)^{100 - k} = 1 = 100%

c) C = genau 55 mal eine gerade Zahl

P(gerade Zahl) = 0.5

COMB(100, 55)·(0.5)^55·(0.5)^45 = 0.04847429662 = 4.85%

d) D = mehr als 45 mal eine gerade Zahl

P(gerade Zahl) = 0.5

Σ (k = 46 bis 100) COMB(100, k)·(0.5)^k·(0.5)^{100 - k} = 0.8158991913 = 81.59%

Comments

Zu den Schritten gibt es nicht viel zu sagen. Entweder über ein Tabellenwerk die Wahrscheinlichkeiten ablesen und eventuell Differenzen bilden oder die Summe über den Taschenrechner ausrechnen. Ich bevorzuge letzteres.

Der Casio fx991de kann z.B. solche Summen recht einfach ausrechnen, auch wenn es manchmal etwas dauert.

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bei b) die Angabe 100% wäre eine Verzerrung der sinnvollen Antwort durch Rundung.

bei c) du hast 2xmal im Exponenten 55 (einmal müsste 45) stehen

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c) hatte ich bereits geändert

bei b) könnte man schreiben

1 - 1.521070476·10^{-22}

Das gibt aber ein Tabellenwerk nicht her. Und der Taschenrechner gibt auch nur die 1 an.

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Aus diesem Grund stehen in Tabellen sowas wie 0.9999....

Das ändert nix an der Tatsache, dass man kein 100% Ereignis hat.

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Gerundet sind es 100%. Ansonsten dürfte man auch nicht 4.85% angeben weil es nicht exakt 4.85% sind.

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Nein, auf 1 und 0 darfst du aufgrund der Bedeutung der Wahrscheinlichkeit nicht runden. Das hat nichts damit zu tun irgendwelche Wahrscheinlichkeiten dazwischen zu runden.

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Das kann ich durchaus so nachvollziehen wie du es sagst. Da ich aber sowohl Rundungen auf 0 wie auch auf 1 schon in Lösungen gesehen habe würde mich natürlich auch interessieren wo ich finden kann das man das nicht tun soll und wie man es dann günstiger Weise angeben soll. 0.999... wäre ja auch nicht so ganz optimal. Und bei 0 würde man dann schreiben 0.000... ? Vielleicht darf man auch schreiben P ≈ 0 oder P ≈ 1. Dann macht man auf jeden Fall deutlich das das ein gerundeter Wert ist.

Ich weiß natürlich auch das in Schulbüchern nicht immer die Wahrheit stehen muss. So habe ich hier gerade ein Buch vorliegen wo steht wenn f'(x) >= 0 für alle x ist eine Funktion monoton steigend und wenn gilt f'(x) > 0 für alle x ist sie streng monoton steigend.

Demnach wäre dann f(x) = x^3 nur monoton wachsend. Das widerspricht aber z.B. auch den Definitionen bei Wikipedia.

Auf wen soll man also hören, wenn man verschiedene Versionen hört oder liest? Das ist ein ziemliches Problem was ich immer habe. Ich hatte deswegen schon mal angeregt, dass es sowas wie ein Definitions-Duden für die Mathematik geben soll, wo genau solche Sachen geklärt werden.

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Also das jemand solche Lösungen hinschreibt und dies sogar in der Schule so beigebracht wird, kann man nicht ausschließen, ist aber trotzdem falsch. Das mit 0.9999... und 0,000.. war nur ein Beispiel aus Tabellen, diese benutzen dies aus Platz- und Übersichtsgründen.

Die optimale Darstellung kann ich dir nicht sagen, da erheb ich keinen Anspruch darauf. Allerdings find ich die Art wie du es geschrieben hast, in der Form 1 - 1.521070476·10^-22. vollkommen in Ordnung, wobei du hier natürlich die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses runden kannst.

Die Verwendung von P ≈ 1,würde ich eventuell nur mit einer Zusatzbemerkung als akzeptabel betrachten.

Das was im Schulbuch steht ist übrigens auch richtig für differenzierbare Funktionen. Die Eigenschaft streng ist ja eine Einschränkung der Eigenschaft monoton. Das heißt eine Funktion die streng monoton wachsend ist, ist auch monoton wachsend. In deinem Buch steht nun wie man aus der Ableitung die Monotonie folgern kann.

Der Widerspruch mit x³ ist auch kein echter Widerspruch weil die Aussage

f'(x) > 0 => streng monoton wachsend eine Folgerung ist und nicht besagt, dass die Gegenrichtung auch stimmt (dann wäre es eine äquivalente Aussage).

Auf wen man hören soll? Mathematik ist ja keine Sekte, in der man irgendjemanden irgendwas glauben muss. Wenn einem eine falsche "Version" begegnet und man sie unreflektiert übernimmt, zeigt dies nur, dass man den Hintergrund nicht ausreichend verstanden hat. Das schweift aber jetzt bisschen ab, da muss man hier nicht weiter drauf eingehen.

Mir ging es auch im Grunde nur darum, dass man nicht einfach P(..) = 1 da stehen lässt, sondern es auch im Kontext interpretiert, wie man es zum Beispiel bei Aufgaben macht, bei denen negative Zahlen als Lösung ausgeschlossen werden können, etc...