Exponentialfunktion: Abkühlung von Milchkaffee

Question

Peter mischt seinen Milchkaffee immer aus gleichen Teilen Kaffee und Milch. Nachdem er den Kaffee frisch aufgebrüht hat, schwankt er zwischen folgenden Möglichkeiten, das Getränk abkühlen zu lassen:

- Er gibt in den Kaffee, der noch eine Temperatur von 90 °C hat, sofort die entsprechende Menge milch, die er aus dem Kühlschrank holt (8 °C). Dann lässt er den Milchkaffee bei einer Zimmertemperatur von 22 °C zu weiteren Abkühlen stehen.

- Er lässt den Kaffee zuerst 5 Minuten lang bei Zimmertemperatur abkülen und mischt danach mit Milch.

Man davon ausgehen, dass sowohl Kaffee als auch Milchkaffee so abkühlen, dass die Abkühlungsgeschwindigkeit 15 % der Temperaturdifferenz zwischen der Temperatur der Flüsigkeit und der Zimmertemperatur pro Minute beträgt.

Welche Temperatur hat der Milchkaffee jeweils nach weiteren 5 Minuten?

Möglichkeit 1:
$f(t) = s+(f(0)-5) \cdot e^{-k t}$
$f(0)=\frac{90+8}{2}=49$
$s=22$
$b = 1-\frac{p}{100}=1-\frac{15}{100}=0,85$
$b^{x} = e^{\ln (b) \cdot x}$
$k=\ln (b)=\ln (0,85)$
$k=\ln (0,85)<0$
$f(t)=22+(49-22) \cdot e^{-\ln (0,85) \cdot t}$
$f(5) \cdot 22+(49-22) \cdot e^{-\ln (0,85) \cdot 5}=82,85 ?$

Kann mir jemand bei der Bestimmung des Wachstumsfaktor k helfen...

Grundsätzlich gilt k>0. Ich hab da für k = ln(0,85) da mit k = ln(b), b = 0,85, zumal es sich um eine Abnahme um 15 % also : b = 1 - 15/100

Wenn man den Wert für k in die Gleichung einsetzt ergibt sich ein zu großer Wert für die Temperatur, weil der Exponent von e positiv ist.

Wo ist mein Fehler?

Answer 1

Warum hast du vor dem LN noch ein Minus gemacht. Das ist an der Stelle verkehrt. Lass es weg, dann passt auch deine Rechnung.

22 + (49 - 22)·e^{LN 0.85 · 5} = 33.98 Grad

a)

Temperatur nach dem Mischen

1/2·(90 + 8) = 49 Grad

Temperatur nach dem weiteren abkühlen

(49 - 22)·(1 - 0.15)⁵ + 22 = 33.98 Grad

b)

Temperatur nach dem abkühlen

(90 - 22)·(1 - 0.15)⁵ + 22 = 52.17 Grad

Temperatur nach dem Mischen

1/2·(52.17 + 8) = 30.09 Grad

c)

Wie das Ganze nach weiteren 5 Minuten aussieht solltest du selber untersuchen können oder?

Comments

in der allgemeinen Formel für das begrenzte Wachstum heißt es e^-k·t ... deswegen

Answer 2

Das Minuszeichen im Exponenten gehört da nicht hin. Die allgemeine Gleichung für exponentielles Wachstum ist ja P*e^ln(k)*t nicht P*e^-ln(k)*t

Wenn du von vornherein ein Minus in den Exponenten schreibst, dann bekommst du durch den ln von einer Zahl <1 letzlich einen positiven Exponenten und damit Wachstum. Das Vorzeichen ergibt sich ganz allein aus der Tatsache ob der ln von einer Zahl größer oder kleiner 1 gebildet wird

Comments

Du darfstt außerdem keine Summe bilden mit 22.  

Man zieht vorher 22 ab um die Temperaturdifferenz zu bekommen. Lässt diese 5 Minuten abkühlen und addiert dann 22 wieder drauf. 

Ich sehe dort keinen Fehler.

---

Hab es beim Durchlesen selbst festgestellt und schon korrigiert. ;)

---

Das ist aber kein exponentielles Wachstum sondern ein begrenztes und deshalb ist ein -k gegeben ...

---

Das Minus ergibt sich aus dem ln von einer Zahl kleiner 1. Du darfst nicht vorher schon ein Miunszeichen dahin schreiben. Wer immer dir das so gesagt hat, hat dir was Falsches gesagt.

Du kannst deinen Wachstumsfaktor hier ja auch umschreiben. Der ln ist die Umkehrfunktion von der e-Funktion. Mit den Potenzgesetzen kannst du F * e^ln(0,85)*t umschreiben zu: F * (e^ln(0,85))^t = F * 0,85^t

Damit siehst du, dass die Flüssigkeit nach einer Minute nur noch 85% der Ursprungstemperatur hat, und nach 2 Minuten 0,85*0,85 = 0,72 =72%

Wenn dort ein Minus im Exponenten steht, dann bekommst du:

F * e^-ln(0,85)*t = F * (e^-ln(0,85))^t = F * (1/(e^ln(0,85)))^t =F * (1 / 0,85)^t

Und das ist eine Wachstumsfunktion, weil der Bruch größer 1 ist

Answer 3

1.)
( 90 ° + 8  ° ) / 2 = 49 °
Misch ( t ) =  ( 49 - 22 ) * 0.85^t + 22
Misch ( 5 ) =  ( 49 - 22 ) * 0.85⁵ + 22
Misch ( 5 ) = 33.98 °
2.)
Kaffee und Milch nach 5 Minuten gemischt
Kaffee ( 5 ) = ( 90 - 22 ) * 0.85⁵ + 22
Kaffee ( 5 ) = 52.17 °

Kaffee und Milch nach 5 Minuten gemischt
( 52.17 ° + 8 ° ) / 2 = 30.09 °

Ist zwar daselbe wie der Mathecoach...
aber hier noch die Ergebnisse für 10 min

Nach 10 min
Misch ( t ) =  ( 49 - 22 ) * 0.85^t + 22
Misch ( 10 ) =  ( 49 - 22 ) * 0.85¹⁰ + 22
Misch ( 10 ) = 27.32 

Kaffee und Milch nach 5 Minuten gemischt und
nach weiteren 5 min
KaMi ( t ) =   ( 30.09 - 22 ) * 0.85^t + 22
KaMi ( 5 ) =   ( 30.09 - 22 ) * 0.85⁵ + 22
KaMi ( 5 ) =   25.59 °