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Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:

(a) f1 :ℝ{1}→ℝ,   x→ 1/(x-1)

(b) f2 :ℝ→ℝ,   x→x2,

(c) f3 :Z×NQ,  (m,n)→ m/n

(d) f4 :ℝ2 →ℝ2,   (x,y)→(y,x+y)

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2 Antworten

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Beste Antwort
Injektiv:    Du musst prüfen ob aus f(a)=f(b) auch a=b folgt.
z.B. bei f1:    1/(a-1)    =   1(b-1)     mit (a-1)(b-1) multiplizieren gibt
                          b-1    =   a-1
also                       b=a
Also ist f1 injektiv.
surjektiv heißt  jedes Element von R kommt als Funktionswert vor.
Das ist hier nicht der Fall, denn 1/(x-1) ergibt niemals den Wert 0.

bei f2:                   a^2 = b^2
hier folgt nicht a=b, denn es könnte auch a=-b sein.
Auich ist f2 nicht surjektiv, denn negative Zahlen können nicht
als Funktionswerte entstehen.

f3: Jedes Paar (m;n) aus ZxN gibt bei Division eine rationale
Zahl, aber verschiedene Paare   z.B.   (8;2) und (4;1) ergeben die
gleiche rationale Zahl nämlich  8/2=4/1=4
Also nicht injektiv.

surjektiv ja, denn jede rationale Zahl läßt sich als
Bruch  m/n darstellen.

f4:    (y1;x1+y1)   =   (y2;  x2+y2)
ist äquivalent zu   y1=y2    und     x1+y1 = x2+y2
1. Gleichung in zweite eingesetzt gibt
                                                         x1+y2=x2+y2 jetzt auf beiden Seiten -y2
Fertig, also f4 injektiv.
surjektiv: Wenn ich irgendein Paar (a;b) aus R^2 habe, muss ich schauen, ob es ein
Paar (x;y) gibt, so dass f4(x;y)=(a;b) ist.
Das findet man so:  Es muss y=a sein, damit bei f(x;y) in der ersten Komponente a entsteht.
nun muss aber noch b=x+y sein, wegen y=a heißt dies  b=x+a bzw  x=b-a.
Dann hat man es    f(b-a;a)=(a;b). Also f auch surjektiv und damit bijektiv.
von 152 k

Vielen dank für die ausführliche Antwort !

+2 Daumen

(a) injektiv aber nicht surjektiv

(b) weder injektiv noch surjektiv

(c) bijektiv

(d) bijektiv


Gruß

von 23 k

Hey sorry (c) war falsch, die Abbildung ist nicht injektiv siehe Antwort von mathef.

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