Uneigentliches Integral. Existiert ∫(von 0 bis ∞) (sin(x)/√x)dx?

Question

Untersuche, ob folgendes uneigentliches Integral existiert:

∫(von 0 bis ∞) (sin(x)/√x)dx

Habe versucht das mit zweimal partieller Integration zu lösen, glaube aber, dass ich mich verrechnet habe. Ich komme auf 2*cos(x)+4*√x

Nach einsetzen würde ich sagen, dass das Integral nicht existiert, da cos(∞) ein undefinierter Ausdruck ist.

Comments

Die selbe Aufgabe war hier schonmal...die Stammfunktion ist ganz komisch..schau mal bei Wolframalpha und Integralrechner. Ich würde das nicht mit der Partiellen Integration lösen...

hier die Frage:

https://www.mathelounge.de/166286/existiert-das-uneigentliche-integral-sin-x-sqrt-x#a166291

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Gerne :)                 .

Answer 1

Das ganze ist nicht so leicht. Die Aufgabe führt auf sogenannte Fresnel Integrale und das Integral nimmt den Wert \(  \sqrt{ \frac{\pi}{2} } \) an.

Allerdings musst Du ja gar nicht den Wert des Integrals bestimmen sondern nur seine Existenz zeigen. Ist aber noch zu früh für mich für solche Überlegungen. Vielleicht fällt mir was heute Abend ein.

Einen Überblick findest Du hier

http://math.stackexchange.com/questions/171970/proof-of-int-0-infty-frac-sin-x-sqrtxdx-sqrt-frac-pi2

Comments

Danke schon einmal. Werde es mal damit versuchen.

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Hi, jetzt ist mir doch noch was eingefallen.
Zu beweisen ist $$ \lim_{x\to\infty} \int_0^x \frac{sin(t)}{\sqrt{t}}dt $$ existiert.
Zunächst ist $$ \frac{sin(t)}{\sqrt{t}} $$ eine stetige Funktion. Der Grenzwert ist \( 0 \) für \( t\to 0 \). Weiter gilt

$$ (1) \quad\int_0^x \frac{sin(t)}{\sqrt{t}}dt=\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{sin(t)}{\sqrt{t}}dt+\int_\frac{\pi}{2}^x \frac{sin(t)}{\sqrt{t}}dt $$
Das erste Integral bei (1) existiert, da der Integrad stetig auf dem Intervall \( [0, 1] \) ist.
Das zweite Integral wird mittel partieller Integration zu
$$ (2) \quad \left. -\frac{cos(t)}{\sqrt{t}} \right|_\frac{\pi}{2}^x-\frac{1}{2}\int_\frac{\pi}{2}^x \frac{cos(t)}{t^\frac{3}{2}}dt=-\frac{cos(x)}{\sqrt{x}}-\frac{1}{2}\int_\frac{\pi}{2}^x \frac{cos(t)}{t^\frac{3}{2}}dt  $$
Das letzte Integral bei (2) existiert ebenfalls da
$$  \left| \frac{cos(t)}{t^\frac{3}{2}} \right| \le \frac{1}{t^\frac{3}{2}} $$ gilt, und
$$ \frac{1}{t^\frac{3}{2}} $$
integrierbar ist.
Damit ist auch
$$ \frac{sin(t)}{\sqrt{t}}  $$ integrierbar und es gilt
$$ \lim_{x\to\infty} \int_0^x \frac{sin(t)}{\sqrt{t}}dt=\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{sin(t)}{\sqrt{t}}dt-\lim_{x\to\infty} \frac{1}{2}\int_\frac{\pi}{2}^x \frac{cos(t)}{t^\frac{3}{2}}dt $$
also
$$ \int_0^\infty \frac{sin(t)}{\sqrt{t}}dt=\int_0^\frac{\pi}{2} \frac{sin(t)}{\sqrt{t}}dt-\frac{1}{2}\int_\frac{\pi}{2}^\infty \frac{cos(t)}{t^\frac{3}{2}}dt $$

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Ist eine wirklich interessante Diskussion!

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Danke für deine Antwort ullim. Kann es auf jeden Fall nachvollziehen.