Supremum von Mengen. A,B ⊂ ℝ beschränkt und nichtleer. Zeige: sup (A∪B) = max {sup A, sup B}

Question

Seien A,B ⊂ ℝ beschränkte , nichtleere Mengen.

Zur zeigen ist, dass sup (A∪B) = max {sup A, sup B} gilt.

Answer 1

Nenne mal die Vereinigungmenge C.
Da A und B beschränkt und nicht leer, ist C dies auch und hat also jedenfalls ein Supremum.

Da A und B jeweils Teilmengen von C sind, gilt sup(C)>=sup(A) und sup(C)>=sup(B)
Damit auch sup(C) >= maximum der Suprema.
Dann muss nur noch ausgeschlossen werden, das sup(C) größer als das Maximum der
Suprema von A und B ist.
Nehmen wir an, dass sei so. Und nennen wir das Maximum der Suprema m.
Dann gäbe es ein x aus C, welches größer als m ist.
Dieses x ist also sowohl größer als sup(A) als auch größer als sup(B).
Das x ist aus C, muss also entweder in A oder in B sein.

Damit wäre in A oder in B ein Element, welches größer als das Sup.
der entsprechenden Menge ist. Widerspruch

Comments

Warum muss x denn Element aus A oder B sein? X kann doch auch ein Element sein, dass weder in A noch in B enthalten ist, aber in C enthalten ist.

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In der Vereinigungsmenge von A und B (und das ist ja C)

sind genau die Elemente die in A oder in B sind.

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Ja ok und ich dachte das wäre die gleiche aufgabe die ich lösen musste ist es dann doch nicht...