Stetigkeit im R^n (mit euklidischer Norm)

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit:

\( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto f(x):=\frac{1}{1+|x|^{2}} \)

hierbei sei \( \mathbb{R}^{n} \) mit der euklidischen Norm \( |x|=\langle x, x\rangle^{\frac{1}{2}}=\left(\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \) ausgestattet;

a) f:ℝⁿ ↦ ℝ, x↦f(x) := 1/(1+|x|²)

hierbei sei ℝⁿ mit der euklidischen Norm |x| = <x,x>^1/2 = (∑_n=1 ⁿ   x_i²)^1/2 ausgestattet,

b)   i: ℝⁿ \ {0} ↦ ℝⁿ ,x ↦ i(x): = x/|x|²

dabei ℝⁿ und | | wie in (a).

Ansatz:

Würde es nicht diese Sache mit der Norm geben also wäre es bloß das 1/(1+x²) würde ich die Aufgabe auch schaffen jedoch wie erwähnt haut mich diese Norm total um.

Answer 1

du stellst dir \( \epsilon > 0 \) als gegeben vor und suchst für alle \( x \) und \( x'\) aus \( D \) (\(= \mathbb{R}^n\)) ein einziges \( \delta \), sodass \( |f(x) - f(x') | < \epsilon \) für \( |x-x'| < \delta \).

Es ist

\( | f(x') - f(x) | = \left| \frac{1}{1+|x'|^2} - \frac{1}{1+|x|^2} \right| = \dots = \left| \frac{(|x|-|x'|)(|x|+|x'|)}{(1+|x'|^2)(1+|x|^2)} \right| \)

\( = \left| |x|-|x'|\right| \left| \frac{|x|+|x'|}{(1+|x'|^2)(1+|x|^2)} \right| < \epsilon \).

Wegen \( \left| |x|-|x'|\right| \leq |x-x'|\), lässt sich die Ungleichung mit einem genügend kleinen \( \delta \) durch \( |x-x'| < \delta \) für alle \( x, x' \in D \) erfüllen. Damit ist die Funktion gleichmäßig stetig.

Mister

Comments

Ja aber was ist mit der euklidischen Norm die hast du ja gar nicht beachtet soweit ich sehe oder?

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Doch, wann immer \( | x | \) oder \( | x' | \) da steht, meine ich die Norm.

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Ach so simpel ist das? Ich dachte immer das <x,x> heißt man müsste da zwei x einsetzen und dann läuft der summand halt nur bis zu nem bestimmten n.

Ich wusste halt nie was ich einsetze und wie sich das dann auswirkt und das hat mich total verwirrt.

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Bitte. Ja, mehr oder weniger so simpel ist das. Die Norm ist hier wahrscheinlich nur zur Verwirrung angegeben worden.