Bestimmen Sie eine Basis von L (w1, w2, w3, w4)

Question

Es seien die folgenden Vektoren aus R^4 gegeben:

w1=(0,-1,2,1); w2=(1,0,2,1); w3=(1,-1,4,2); w4=(2,1,1,0)

Bestimmen Sie eine Basis von L(w1,w2,w3,w4).

Kann mir jemand die Aufgabe mit Erklärungen bitte zeigen?

Answer 1

L(w1,w2,w3,w4) wird ja von diesen 4 Vektoren erzeugt.

Da musst du nur schauen, ob sie lin.unabh. sind.

w1=(0,-1,2,1); w2=(1,0,2,1); w3=(1,-1,4,2); w4=(2,1,1,0)

dazu musst du a*w1+b*x2+c*w3+d*w4 = 0 lösen

dann siehst du: das hat für jedes d aus IR eine Lösung, also

nicht lin.una.

und aus dem LGS kannst du auch ablesen (a,b,c,d)=(1,1,-1,0) ist eine Lösung

also w1+w2=w3, also kannst du w3 weglassen und schaust

ob w1,w2 und w4 lin.unabh. sind

die sind es, also bilden sie eine Basis.

Answer 2

sind deine 4 Vektoren linear unabhängig so bilden sie bereits eine Basis für die Lineare Hülle.  Dies ist nicht der Fall. Wie man die Vektoren auf lineare Abhängigkeit prüft müsstet ihr eigentlich schon gemacht haben. Die Basis der lineare Hülle ist dann eine Untermenge der 4 Vektoren, die nur 3 linear unabhängige Vektoren beinhaltet.

Gruß