Das Rechnen mit konvergenten Folgen
22.1 Vergleichssatz
Strebt an →a, bn→b und ist fast immer (d.h. durchweg ab einem gewissen Index) an ≤ bn, so ist auch a≤b.
Wäre nämlich a>b, so wäre ε:= (a-b)/2>0, fast alle an wären in Uε (a), fast alle bn in Uε(b) enthalten und Uε(a) würde rechts von Uε(b) liegen. Im Widerspruch zur Voraussetzung hätten wir also an>bn für fast alle Indizes.
Gilt fast immer α ≤ an≤β, so folgt aus dem Vergleichssatz sofort die Grenzwertabschätzung α ≤ a≤β.
Wie das Beispiel der gegen 1 konvergierenden Folgen (1-1/n) und (1+1/n) lehrt, kann aus an<bn für n=1,2,... nicht aus a<b, sondern eben nur auf a≤b geschlossen werden- so wenig dies auch nach dem Geschmack eines vage(aber innig) empfundenen "Kontinuitätsprinzips" sein mag.
22.2 Einschnürungssatz
Strebt an →a und bn→a und ist fast immer a n ≤c n ≤b n, so strebt auch cn →a.
Wählen wir nämlich ein beliebiges ε>0, so liegen fast alle an und fast alle bn in Uε(a). Dann müssen aber auch fast alle c n in Uε(a) liegen, d.h. es muss c n →a streben.
Aus dem Einschnürungssatz folgt ohne weiteres der
22.3 Satz
Gilt mit der Nullfolge (αn) fast immer | an -a|≤ an, so strebt an →a.
Beachtet man die Ungleichung || an |-|a||≤| an -a|, so enthält man aus diesem Satz und der ersten Bemerkung zum Vergleichssatz sofort den wichtigen
22.4 Betragssatz
Aus an →a folgt | an | →|a|. und ist fast immer | an |≤γ, so gilt auch |a|≤γ.
Der nächste Satz besagt, dass man Nullfolge mit beschränkten Folgen multiplizieren "darf":
22.5 Satz
Strebt an → 0 und ist (b n) beschränkt, so auch an b n → 0.
Ist nämlich |b n |<β für alle n und bestimmt man nach Wahl von ε<0 ein n0, so dass |an|<ε bleibt für alle n>n0, so ist für diese n stets | an b n |=| an | |b n |<εβ, womit wegen der Bemerkung 3 nach Satz 20.3 bereits alles bewiesen ist.
Verstehe diese Sätze nicht Bitte um Erklärung evnt. mit Beispiele
Danke
