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Die n-te Fibonacci–Zahl a n ist durch

a1 := 1,  a2 := 1,  an+2 := an + an+1 (für n ≥ 0)

definiert und eine neue Folge

$$ { b }_{ n }\quad :=\frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } }  $$
gebildet.


1. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Folge der Fibonacci-Zahlen
(an)n∈N monoton wächst.

2. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die Aussage

                 \( b_{n}-b_{n+1}=\frac{(-1)^{n}}{a_{n} a_{n+1}} \)



(Variante: Man kann dies direkt mit vollständiger Induktion zeigen. Eine
Variante besteht darin, zunächst \( a_{n}^{2}-a_{n+1} a_{n-1}=(-1)^{n-1} \)                                         mit vollständiger Induktion zu zeigen und daraus die Gleichung zu folgern)

3. Zeigen Sie mit Gleichung (1), dass

\( \begin{aligned} b_{2 n}-b_{2 n+2} &=\frac{1}{a_{2 n+1}}\left(\frac{1}{a_{2 n}}-\frac{1}{a_{2 n+2}}\right) \\ b_{2 n-1}-b_{2 n+1} &=\frac{1}{a_{2 n}}\left(\frac{1}{a_{2 n+1}}-\frac{1}{a_{2 n-1}}\right) \end{aligned} \)

und folgern Sie, dass die Folge (b2n ) n∈N monoton fällt, und die Folge
(b2n+1 )n∈N monoton wächst.


4. Folgern Sie aus Gleichung (1), dass für alle n, m ∈ N
                                            b2n > b2m+1 ,

d.h. alle geraden Folgenglieder sind größer als alle ungeraden Folgenglieder.

 5. Folgern Sie, dass die Folgen (b2n)n∈N und (b2n+1)n∈N konvergieren. Schließen
Sie daraus, dass die Folge (bn )n∈N gegen (1-√5)/2 konvergiert

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1 Antwort

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zu1   Zeige a1 <= a2 <= a3 und sei bekannt: Folge ist bis an monoton wachsend,
wegen a1=1 sind dann alle Folgenglieder größer oder gleich 1.

an+1 - an = an-1              ist größer oder gleich 1 (Ind.vor) also auch >0
Also ist Folge monoton wachsend.
Avatar von 287 k 🚀

hallo danke für deine antwort, aber ich soll ja gerade zeigen dass es monoton wachsend ist und das nicht vorausetzen.

also soll ich irgendwie draufkommen das an≤an+1

Du kannst doch auch an+1 - an > 0 zeigen, das ist das gleiche.

Und bei Induktionsbeweisen ist es doch immer so:

Du nimmst an, es sei für richtig für n

und zeigst dann, dass daraus auch folgt:

richtig für n+1

Und natürlich vorher für n=1

das stimmt aber wir mache ich das? ich habe das wa soben steht als IV und will im IS zeigen das es für n+1 gilt also ist zz: an+2>an+1

mathef oder jemand anders der sich uaskennt: ich habe die 1 und 2 lösen können weiß aber bei den restlichen aufgane nicht wie ich mit dieser 2 im index rechnen kann. generell wirkt die rechnung machbar aber wie geht das mit dem index 2? darf ich schreiben: b2n = 2b2 oder wie kann ich das schrieben?


Vielen Dank

Ne, die 2 im Index gibt ja die Nummer des Folgengliedes an, kannst du dir so vorstellen

b1 ,, b2,   b3   ,  bn-1  ,  bn  ,  bn+1 ,  bn+2,   .......b2n-1   b2n,  b2n+1,  b2n+2

vielen dank, habs verstanden ich setze mich jetzt nochmal dran.. vielen dank

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