Beweise zur Fibonacci - Folge

Question

Die n-te Fibonacci–Zahl a n ist durch

a₁ := 1,  a₂ := 1,  a_n+2 := a_n + a_n+1 (für n ≥ 0)

definiert und eine neue Folge

$${ b }_{ n }\quad :=\frac { { a }_{ n+1 } }{ { a }_{ n } }$$
gebildet.

1. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die Folge der Fibonacci-Zahlen
(a_n)_n∈N monoton wächst.

2. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die Aussage

                 $b_{n}-b_{n+1}=\frac{(-1)^{n}}{a_{n} a_{n+1}}$

(Variante: Man kann dies direkt mit vollständiger Induktion zeigen. Eine
Variante besteht darin, zunächst $a_{n}^{2}-a_{n+1} a_{n-1}=(-1)^{n-1}$                                         mit vollständiger Induktion zu zeigen und daraus die Gleichung zu folgern)

3. Zeigen Sie mit Gleichung (1), dass

$\begin{aligned} b_{2 n}-b_{2 n+2} &=\frac{1}{a_{2 n+1}}\left(\frac{1}{a_{2 n}}-\frac{1}{a_{2 n+2}}\right) \\ b_{2 n-1}-b_{2 n+1} &=\frac{1}{a_{2 n}}\left(\frac{1}{a_{2 n+1}}-\frac{1}{a_{2 n-1}}\right) \end{aligned}$

und folgern Sie, dass die Folge (b_2n ) n∈N monoton fällt, und die Folge
(b_2n+1 )_n∈N monoton wächst.

4. Folgern Sie aus Gleichung (1), dass für alle n, m ∈ N
                                            b_2n > b_2m+1 ,

d.h. alle geraden Folgenglieder sind größer als alle ungeraden Folgenglieder.

 5. Folgern Sie, dass die Folgen (b_2n)_n∈N und (b_2n+1)_n∈N konvergieren. Schließen
Sie daraus, dass die Folge (b_n )_n∈N gegen (1-√5)/2 konvergiert

Answer 1

zu1   Zeige a1 <= a2 <= a3 und sei bekannt: Folge ist bis an monoton wachsend,
wegen a1=1 sind dann alle Folgenglieder größer oder gleich 1.

a_n+1 - a_n = a_n-1              ist größer oder gleich 1 (Ind.vor) also auch >0
Also ist Folge monoton wachsend.

Comments

hallo danke für deine antwort, aber ich soll ja gerade zeigen dass es monoton wachsend ist und das nicht vorausetzen.

also soll ich irgendwie draufkommen das an≤an+1

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Du kannst doch auch a_n+1 - a_n > 0 zeigen, das ist das gleiche.

Und bei Induktionsbeweisen ist es doch immer so:

Du nimmst an, es sei für richtig für n

und zeigst dann, dass daraus auch folgt:

richtig für n+1

Und natürlich vorher für n=1

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das stimmt aber wir mache ich das? ich habe das wa soben steht als IV und will im IS zeigen das es für n+1 gilt also ist zz: an+2>an+1

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mathef oder jemand anders der sich uaskennt: ich habe die 1 und 2 lösen können weiß aber bei den restlichen aufgane nicht wie ich mit dieser 2 im index rechnen kann. generell wirkt die rechnung machbar aber wie geht das mit dem index 2? darf ich schreiben: b_2n = 2b₂ oder wie kann ich das schrieben?

Vielen Dank

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Ne, die 2 im Index gibt ja die Nummer des Folgengliedes an, kannst du dir so vorstellen

b₁ ,, b₂,   b₃   ,  b_n-1  ,  b_n  ,  b_n+1 ,  b_n+2,   .......b_2n-1   b2_n,  b_2n+1,  b_2n+2

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vielen dank, habs verstanden ich setze mich jetzt nochmal dran.. vielen dank