Question

Es seien K ein Körper, M eine nichtleere Menge und m0 ein Element aus M. Wir betrachten den
K-Vektorraum Abb(M;K) der Abbildungen M -> K. Zeigen Sie, dass die Mengen

U = {f 2 Abb(M;K) j f(m0) = 0}
V = {f 2 Abb(M;K) j f ist konstant, d.h. f(a) = f(b) für alle a; b ∈ M}

Untervektorräume von Abb(M;K) bilden. Zeigen Sie für diese Untervektorräume U und V :
U ∩ V = {0}; U + V = Abb(M;K):
Insbesondere ist also (z): U ⊕ V -> Abb(M;K);

(f; g) -> f + g, ein Vektorraum-Isomorphismus.

Ansätze wären auch schon hilfreich.

Answer 1

U:  Du musst zeigen:
für alle f,g  aus U ist f+g aus U

seine f,g aus U, dann f(mo)=0 und g(mo)=0 dann auch (f+g)(mo)=f(m0)+g(m0)=0+0 = 0
also aus U

ebenso für alle a aus K :   für f asu U ist auch   a*f aus U
klar:   a*f(0) = a*0 = 0

V:  f,g konstant, also gibt es c aus K und d asu K mit  f(x)=c und g(x) = d für alle x aus M
dann gibt es auch ein   k aus K mit (f+g)(x) = k für alle x aus M,
man nehme k=c+d.

ebenso miit  a*f    dann nimm k=a*c

U geschnitten V ist nur 0, ist wohl klar:   wenn f(m0)=0 und das Ding ist konstant, dann ist
für alle x aus M   f(x)=0.