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Es seien K ein Körper, U1 U2  Untervektorräume eines K-Vektorraums U.
Zeigen Sie, dass die Abbildung
  φ: U1 → (U1 + U2)/U2 , u1 → u1 + Ueine surjektive lineare Abbildung mit ker(φ) = U1 ∩ U2 ist .
Konstruieren Sie mit Hilfe des Homomorphiesatzes für lineare Abbildungen einen natürlichen Vektorraum-IsomorphismusU1 / (U1∩ U2) ≅ ( U1 + U2)/U2
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  φ: U1 → (U1 + U2)/U2 , u1 → u1 + U eine surjektive lineare Abbildung mit ker(φ) = U1 ∩ U2 ist .


Für Linearität istzu zeigen:    (statt phi schreib ich mal f)

Für alle u,v aus U1 gilt  f(u+v) = f(u) + f(v).

Seien u,v aus U1 so gilt  f(u) = u + U2   und  f(v) =  v + U2

und die Summe dieser Klassen ist die Klasse (u+v) + U2,

also gleich f(u+v) .

Sei u aus U1 und k aus K, dann muss man zeigen

f(k*u)  =   k* f(u).

Aber Multiplikation eines Vektors v+U2 aus (U1 + U2)/U2

mit einem k aus K geschieht ja gerade so, dass die Klasse

k*v + U2 entsteht. also ist k*u+U2  =  k*(u+U2).

Also f linear.

Und die Nullklasse in (U1 + U2)/U2 ist  0 + U2 = U2

Also heißt für alle v aus U1 f(v)=0, dass v+U2 die Nullklasse ist,

also v aus U2 ist. Damit also v aus U1 geschnitten mit U2.


U1 / (U1∩ U2) ≅ ( U1 + U2)/U2

weil f surjektiv war, ist Bild(f) = ( U1 + U2)/U2

Also ist die Vor. des Hom-satzes erfüllt und der Isomorphismus

ist    h:  U1 / (U1∩ U2) → ( U1 + U2)/U

mit h( u+(U1∩ U2) )  ---------->  f(u) mit dem f von Teil 1.


von 152 k

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