Lösen von Ungleichungen..aber wie? Zum Beispiel: (4x+1)/(3+x)>=-2

Question

Hallöchen..
Ich bin gerade so ein bisschen am Verzweifeln.. Wie löse ich denn Bruchungleichungen? 
Mit den "normalen" Ungleichungen komme ich ja klar...also denke ich zumindest...aber wie löse ich jetzt  zum Beispiel folgende Aufgabe, bzw. wie gebe ich die Lösungsmenge an?

(4•x+1)÷(3+x)≥-2

Answer 1

(4•x+1)÷(3+x)≥-2    Da brauchst du eine Fallunterscheidung.
Denn du musst ja mit dem Nenner multiplizieren.
Und wenn der Nenner > 0 ist, bleibt das  ≥-Zeichen und
wenn der negativ ist, dreht es sich. Das sieht dann vielleicht so aus

1. Fall:   (3+x) > 0
Dann wird nach dem Multiplizieren
  (4•x+1)≥-2*(3+x)  aus deiner Ungl.
also
   6x + 7 ≥ 0
also x ≥ -7/6
Aber das gilt ja nur (s.o.) für   (3+x) > 0 also x > -3
Das heißt es muss x ≥ -7/6      und     x > -3    gelten

und das bedeutet schlicht x ≥ -7/6  (denn dann ist es ja automatisch > -3)

2. Fall:   (3+x) < 0
Dann wird nach dem Multiplizieren
  (4•x+1)   kleiner oder gleich -2*(3+x)  aus deiner Ungl.
also             0≥   6x + 7
also  -7/6  ≥ x
Aber das gilt ja nur (s.o.) für   (3+x) < 0 also x < -3
Das heißt es muss    -7/6  ≥ x   und     x < -3    gelten

und das bedeutet schlicht x<-3   (denn dann ist es ja automatisch kleiner gleich -7/6)

Insgesamt hast du also die Lösungen:

x<-3    oder   x ≥ -7/6

Zum besseren Verständnis setzt du am besten mal einige Zahlen ein, die diese

Bedingungen erfüllen etwa   -10   -5    -1  0   2    6   etc. stimmt immer.

Aber wenn x<-3    oder   x ≥ -7/6  nicht erfüllt ist (z.B.) x=-2   oder x= -1,5

wirst du sehen, stimmt auch die Ungleichung nicht.

Comments

Das ist echt richtig gut erklärt! Vielen lieben Dank!!

Also wäre die gesamte Lösungsmenge, also von L1 und L2:

L{xεℝ | -3>x≥-7/6  ??

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ne, das ist ja ein "oder " zwischen den Bedingungen

L={xεℝ | x<-3    oder x≥-7/6}  bzw. das oder mit v abkürzen

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Aber muss nicht für eine Ungleichung eine einheitliche Lösung rauskommen?

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Nein, in diesem Fall sind das zwei Intervalle.

Haste mal meinen Tipp mit dem Einsetzen probiert ?

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Ja..ich glaube, ich habe es jetzt verstanden..

Ich kann ja auch größere Zahlen als -7/6 einsetzen, damit die Gleichung erfüllt ist...
Vielen Dank für dein Bemühen!! :)

Answer 2

Hi,

ich würde so rangehen:

Multiplizieren des Nenners. Dafür muss man eine Fallunterscheidung machen.

x > -3:

(4•x+1)/(3+x)≥-2   |*(3+x)

4x+1 ≥ -6 - 2x    |+2x-1

6x ≥ -7

x ≥ -7/6

--> L₁ = {x∈ℝ|x≥-7/6}

x < -3:

(4•x+1)/(3+x)≥-2   |*(3+x)  (drehen des Relationszeichens

4x+1 ≤ -6 - 2x    |+2x-1

6x ≤ -7

x ≤ -7/6

--> L₂ = {x∈ℝ|x < -3}

Wegen der Fallunterscheidung muss x < -3 sein.

Die Gesamtlösung ist

x ≥ -7/6 oder x < -3

Grüße

Comments

Ok..ja..ich glaube jetzt habe ich es verstanden..

Also wäre die gesamte Lösungsmenge, also von L1 und L2:

L{xεℝ | -3>x≥-7/6  ??

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Nein, fast das genau Gegenteil. Ohne das von Dir genannte Intervall ;).

L = {x∈ℝ|x≥-7/6 ∨ x < -3}

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ich kann die Argumentation des Fragestellers/Fragestellerin schon verstehen

x < -3 und x > -7/6  ergibt als Kette geschrieben

-3 > x > - 7/6

Ist aber falsch

--------------------------------------------------------

Die Gesamtlösung ist  x ≥ -7/6 und x < -3

Als Mengenangaben sicherlich richtig.

Die Menge der Element x > -7/6
vereinigt mit der Menge x < -3.

Mathematisch richtig müßte es heißen
x ist größer -7/6 oder x ist kleiner -3

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Achso, ok.
Ja stimmt. Ich kann ja auch Zahlen, die größer als -7/6 sind einsetzen, sodass die Gleichung stimmt.

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Ups, weiter unten hatte ich es zwar richtig, war aber da wohl in Gedanken woanders. Danke^^ (korrigiert).

Answer 3

ganz einfach, du multiplizierst den nenner des bruchterms mit beiden seiten der ungleichung, somit kürzt er sich auf der linken seite raus (du hast somit keinen bruch mehr) und auf der anderen seite steht dann -2(3+x).

probier es mal aus, ist gar nicht so schwer ;)

Comments

Braucht allerdings eine Fallunterscheidung bei der Multiplikation mit dem Nenner. Das Vorzeichen dreht sich ja bei einer Multiplikation einer negativen Zahl ;).

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als lösung kommt raus : x= -7/6

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Ja..das habe ich auch gelesen mit der Fallunterscheidung.. aber ich bekomme das dann mit der Lösungsmenge nicht hin...

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achso, ich dachte das gilt nur, wenn man jetzt z.b. die -2 mit einer weiteren negativen zahl multiplizieren würde also wenn der nenner negativ wäre

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So ist es ja auch Subis. Der Nenner kann auch negativ werden ;).

Schau mal meine Antwort an.