Unendliche Folge. Beweis per Induktion. Funktionen.

Question

Wir definieren die unendliche Folge f : N → Q induktiv durch

• f(0) = 1,

• f(n) = f(n − 1) + 1/2ⁿ,  für alle n ∈ N mit n ≥ 1.

1) Geben Sie die ersten 5 Glieder der Folge in Listenschreibweise an.

2) Geben Sie f(13) als konkrete rationale Zahl an (also nicht in Abhängigkeit eines f(n´) mit  n´ < 13).

3) Beweis per vollständiger Induktion:

Für alle n ≥ 1 gilt f(n) = 2 − 1/2ⁿ.

Comments

Ich soll per Vollständiger Induktion beweisen, dass die unendliche folge f : N->Q

f(n) = f(n-1) + 1/(2^n) das gleiche ist wie 2 - 1/(n^2)

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Die Frage ist nicht vollständig.

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Ich habe gerade gesehen, dass die gleiche Frage schon einmal gestellt wurde: https://www.mathelounge.de/180816/unendliche-folge-beweis-per-induktion-funktionen

Kann mir vielleicht einer erklären, wie die da von 2 − 1/2ⁿ.+ 1/2ⁿ⁺¹ auf 2 +2/2ⁿ⁺¹ - 1/2(n+1) kamen? Das leuchtet mir nicht so ganz ein...
Müsste es nicht 2 - 2/2ⁿ⁺¹ + 1/2ⁿ⁺¹ sein? Woraus dann 2 - 1/2ⁿ⁺¹ folgt?

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Ich hoffe du hast auch gesehen was die andere Frage von deiner unterscheidet. Nachfragen bitte in der anderen Frage hier wird geschlossen.

Answer 1

Wir definieren die unendliche Folge f : N → Q induktiv durch

• f(0) = 1,

• f(n) = f(n − 1) + 1/2ⁿ,  für alle n ∈ N mit n ≥ 1.

1) Geben Sie die ersten 5 Glieder der Folge in Listenschreibweise an.

2) Geben Sie f(13) als konkrete rationale Zahl an (also nicht in Abhängigkeit eines f(n´) mit  n´ < 13).

3) Beweis per vollständiger Induktion:

Für alle n ≥ 1 gilt f(n) = 2 − 1/2ⁿ.

1)  1 ;   1,5   ;  1,75  ;    1, 125  ;  1,9375

2) 16383 / 8192

für n=1 ok

gelte es für n also f(n) = 2 − 1/2ⁿ.

dann ist f(n+1) = f(n) + 1/2^{n+1}   = 2 − 1/2ⁿ.+ 1/2^{n+1} = 2 +2/2^{n+1} - 1/2(n+1) = 2 +.+ 1/2^{n+1}

und das ist die rechte Seite der Gleichung für n+1    q.e.d.

Comments

Hallo mathef,

eine Frage zu deiner Induktion. Schritt 1 und 2 kann ich natürlich noch folgen, aber der Induktionschritt ist mir noch nicht so ganz klar. Vermutlich sind meine Fragen eher dumm, aber ich würd's gern verstehen :)

Ich hab mir die Rechnung mal auf Papier geschrieben und bei mir sieht sie quasi so aus:

f(n+1) = f(n)+1/2ⁿ⁺¹
             = 2-1/2ⁿ + 1/2ⁿ⁺¹
             = 2 + 2/2ⁿ⁺¹ - 1/2(n+1)
          =2+1/2ⁿ⁺¹

Ich hoffe das ist verständlich. Nun meine Fragen:
1) Habe ich das schon falsch aufgeschrieben? In deiner Antwort sind noch 2 Punkt, mit denen ich leider nichts anfangen konnte.
2) Ich kann schon nicht  nachvollziehen, warum in Zeile 1 aufeinmal ein Plus steht. Zeile 2 ist ja meine Ausgangsgleichung + das nächste n, für das ich die Gleichung beweisen will, oder?  Und was will mir Zeile 3 sagen?

Das Prinzip der vollst. Induktion ist mir klar, aber bisher hatte ich da nur mit Aufgaben z.B. zur Teilbarkeit zu tun.
Es wäre sehr nett, wenn du mir helfen könntest.

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Ich finde, dass du alles sehr nett aufgeschrieben hast.

Ich habe einmal das + doppelt getippt.

Hatte keinen tieferen Sinn.

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Kann mir vielleicht einer erklären, wie er da von 2 − 1/2ⁿ.+ 1/2ⁿ⁺¹ auf 2 +2/2ⁿ⁺¹ - 1/2(n+1) kam? Das leuchtet mir nicht so ganz ein...
Müsste es nicht 2 - 2/2ⁿ⁺¹ + 1/2ⁿ⁺¹ sein? Woraus dann 2 - 1/2ⁿ⁺¹ folgt?

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Bin ebenfalls der Meinung, dass die o.a. Ausführung bzgl. der vollständigen Induktion falsch sind. Richtig ist meines erachtens folgender Induktionsschritt:

2 - 1/2^{n+1} = 2 - 1/2^n + 1/2^{n+1} = (IV) f(n) + 1/2^{n+1} = f(n-1) + 1/2^n

Und dies entspricht per Definition dem nächsten Folgeglied von f(n).

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Müsste es nicht 2 - 2/2ⁿ⁺¹ + 1/2ⁿ⁺¹ sein? Woraus dann 2 - 1/2ⁿ⁺¹ folgt?

Genau, ich hatte mich da vertan.