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Ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Umfang 120m soll so gewählt sein, das der Flächeninhalt maximal ist.


Komme nicht weiter, bitte Hilfe.

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Nebenbedingung u = s + s + a = 120

Zielfunktion F = 1/2 * a * √(s^2 - (a/2)^2)     benutzt Pythagoras

Nebenbedingung nach s auflösen.

s = 60 - a/2

Daher 

F(a) = 1/2 * a * √((60- a/2)^2 - (a/2)^2 ) 

Nun Term unter der Wurzel so weit wie möglich vereinfachen. Dann f(a) nach a ableiten und 'sinnvolle' Nullstelle der Ableitung bestimmen.

Tipp: Statt F(a) zu maximieren kannst du auch (F(a))^2 maximieren, da sparst du dir die Wurzel. 

F(a) = 1/2 * a * √(3600 - 60a + (a/2)^2 - (a/2)^2 ) 

= 1/2 * a * √(3600 - 60a)

(F(a))^2 = 1/4 * a^2 (3600 - 60a) = a^2 ( 900 - 15a) = 900 a^2 - 15 a^3

((F(a))^2) '  = 1800 a - 45 a^2 = 45a ( 40 - a)

Nullstellen: a1 = 0 und a2 = 40

Aus geometrischen Gründen ist bei a= 0 die Fläche minimal und bei a= 40 die Fläche maximal.

Es folgt a = 40m sowie s = 120m - 80m = 40m. 

von 162 k 🚀

Sorry ich verstehe kein Wort.

Ich habe oben fertig gerechnet. Ist aber nur zur Kontrolle gedacht. Probier das zuerst selbst. 

Wie kommst du auf die zielfunktion?

Hab schon, thx.

bj310: Schön, dass sich das erledigt hat.

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